3.3垂径定理高品质版.docx

3.3 垂径定理 教学目标 １．使学生 理解圆的轴对称性． ２．掌握垂径定理． ３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点 垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．教学难点 垂径定理的推导利 用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到， 与严格的逻辑推理比较， 在证明的表述上学生会发生困难， 因此垂径定理的推导是本节课的难点． 教学关键 理解圆的轴对称性． 教学环节的设计 这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是： 复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．一、复习提问，创设情境 1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对 称图形，同时复习轴对称图形的概念； ２．提出问题： 如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴 对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） A 二、引入新课，揭示课题 1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． C E O D 强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； B （2）圆的对称轴有无数条． 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备． 三、讲解新课，探求新知 先按课本进行合作学习 1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径 CD； 2．作一条和直径 CD 的垂线的弦， AB 与 CD 相交于点 E． 提出问题：把圆沿着直径 CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论： （先介绍弧相等的概念） ① ；② ⌒ ⌒，⌒ ⌒． 理由如下：∵∠ OEA= ∠ OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线 EA 与 EB 重合， ∴点 A 与点 B 重合，弧 AC 和弧 BC 重合，弧 AD 和弧 BD 重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ． 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明 OA 平分 CD 吗？（课内练习 1） 注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证， 可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略） ． A 然后把此结论归纳成命题的形式： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 垂径定理的几何语言 C E O D ∵CD 为直径， CD ⊥ AB （OC⊥ AB ） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ EA=EB ， AC=BC ， AD=BD ． 四、应用新知，体验成功 B ⌒ (先介绍弧中点概念 ) 例 1 已知 AB ，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点． 作法： ⒈连结 AB. ⒉作 AB 的垂直平分线 CD， 交弧 AB 于点 E. 点 E 就是所求弧 AB 的中点． ⌒ 变式一： 求弧 AB 的四等分点． 思路：先将弧 AB 平分，再用同样方法将弧 AE 、弧 BE 平分． （图略） 有一位同学这样画，错在哪里？ 1．作 AB 的垂直平分线 CD 2．作 AT 、 BT 的垂直平分线 EF、GH （图略） 教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线． 变式二：你能确定弧 ⌒ AB 的圆心吗？ 方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心． 例 2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径 OB=1 0，水面宽 AB=16 ，求截面圆心 O 到水面的距离 OC ． 思路： 先作出圆心 O 到水面的距离 OC，即画 OC⊥ AB ，∴ AC=BC=8 ， O 在 Rt△ OCB 中， OC ∴圆心 O 到水面的距离 例 3 已知：如图，线段思路：  OB2 BC2 102 82 6 A B C OC为6． AB 与⊙ O 交于 C、D 两点，且 OA=OB ．求证： AC=BD ． 作 OM ⊥AB ，垂足为 M ， ∴ CM=DM ∵OA=OB ， ∴ AM=BM ， ∴ AC=BD ． 概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． 小结： 1．画弦心距是圆中常见的辅助线； 2．半径（ r）、半弦、弦心距 (d) 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之 间的关系：弦长 AB 2 r 2 d 2 ． 注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个． 五、目标训练 ,及时反馈 1．