AHP层次分析法解析.docx

第一单元 层次分析法 —— AHP 简介 第一单元 层次分析法 — AHP简介 (The Analgtic Hierarachy Process----AHP) 前言 最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地位；由于系统越来复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素 无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点： —— 人的选择和判断，需要认真地研究选择和判断的规律，这就是 AHP 产生的背景。 匹兹堡大学 Saaty 教授于七十年代中期提出层次分析法 AHP。于 80 年代初由 Saaty 的学生介绍到我国。 层次分析 AHP的特点： 输入信息主要是决策者的选择和判断。 决策过程充分反映了决策者对决策问题的 认识； 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算； 实用性：能进行定量分析， 也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析； 系统性： 人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断） ，AHP 把问题看作一个系统属于第三种，真正要搞清楚 AHP 原理，需要深刻的数学背景。好在我们只重应用，并不过多涉及 AHP 的数学背景。 AHP的主要不足在于： AHP 只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。 规划论 —— 采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果令决策人难以接受。 AHP—— 从本质上讲是试图使人的判断条理化， 所得结果基本上依据人的主观判断， 当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时， AHP 的结果显然靠不住，所以， AHP 中通常是群组判断方式。 尽管 AHP 在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于 AHP 简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。 §1 AHP 预备知识（一） 特征根与特征向量 设 A aij m n 为 n 阶方阵，若存在常数 和非零 n 维向量 g ( g1, g2 , , g n ) ，使得 Ag g (1) 则称， 是矩阵 A 的特征根（或特征值），非零向量 g 是矩阵 A 关于特征根 的特征 向量。 1.1 特征根的求法 由（1）得 Ag g 0A E g 0 ，这是一个 n 元一次线性齐次方程组，按题 意该方程组有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即 A E 0 （ 2） 1–1 第一单元 层次分析法 —— AHP 简介 称（ 2）式为矩阵 A 的特征方程，它是一个一元 n 次方程，由代数基本定理知，该方程有且只有 n 个根。 重量模型 设 u1 , u2 , ,u n 为 n 个物体，重量分别是 g1 , g2 , , g n 。但是，我们并不知道物体的重 量，只知两两之间重量比的比值： aijgi g j 设准则 C 为重量，问题是： 已知 aij (1 i, j n) ，在准则 C 下对元素 u1 , u2 , ,un 排序，也就是按其重量大小排序 已知。 g1 g1 g1 g1 g 2 g n A aij g2 g 2 g 2 n m g1 g 2 g n g n g n g n g1 g 2 g n 显然 aij 满足（ 1）（2）： （1） aij 0 （2） aij 1 a ji （3） aij a jk aik 但是，（ 3）式通常不被满足，满足（ 1）、（2）的 A 为正互反矩阵；满足（ 1）、（2）并且 （ 3）也成立时的 aij 称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵 A，在准则 C 下对 n 个物体排序。即按重量大小排序。 如果， aij gi 是， gi ， g j 是重量的精确值，此时（ 3）式必定成立，即 A 是一致 g j 性矩阵。令 g g1 g 2 g n T 则 Ag ng 显见 n 是方阵 A 的特征根，g 是 A 的与 n 对应的特征向量；事实上此时不难验证： n 是方阵 A=(a )的最大特征根，其余 n-1 个特征根全为零，而 g 是 A 的与最大特征根 n ij 对应的特征向量。（证明见附录） g 的 n 个分量是物体的相对重量，因此，可按此对 u1 ,u2 , , un 排序。 如果对矩阵 A 有一个小的扰动， 即 aij 不再是真实重量的比值， 这时显然 A 不满足一致性条件，此时 A 的最大特征根 max 不再是 n；因扰动很小，自然 max 离 n 不远，这时 max 对应的特征向量虽然不会是 n 个物体的真实重量 g g1