2018版高中数学必修二同步学习讲义(打包39份)人教课标版37(汇教案).docx

圆的两种方程的区别与联系 圆心为 (， )，半径为的圆的标准方程为 ( － )＋ ( － )＝；而二元二次方程＋＋＋＋＝，当＋－ 时，表示圆心为，半径为＝的圆，叫做圆的一般方程． 二者的相同点表现在： ()二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程， 而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮 助的． ()不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母 (、、或、、)的值需要确定，因此需要三个独 立的条件．利用待定系数法得到关于、 、 (或、、 )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值． 标准方程与一般方程的差别主要表现在以下两点： ．二者确定圆的条件不同 例圆心在直线＝上，且与直线＋－＝相切的圆，截轴所得的弦长＝，求此圆的方程． 解 ∵ 圆心在直线＝上， ∴ 可设的坐标为 (， )， 设圆的方程为 (－ )＋ (－ )＝ ()． 作 ⊥ 于，连接，在 △ 中，＝， ＝，＝， ∴＝. 又＝， ∴ ＝， 整理得－－＝，解得＝或＝－ . 当＝时，圆的半径为＝＝， 故圆的方程为 (－ )＋ (－ )＝ . 当＝－时，圆的半径为＝＝， 故圆的方程为＋＝ . 因此所求圆的方程为 (－ )＋ (－ )＝或＋＝ . 例已知△各顶点的坐标分别为 (－ )， (－，－ )， ()，求其外接圆的方程． 分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程． 解设过、、三点的圆的方程为＋＋＋＋＝， 将 (－ )， (－，－ )， ()代入，可得解得＝－，＝－，＝－， ∴ 其外接圆的方程为＋－－－＝ . 评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程；而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数，， .需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单． ．二者的应用方面不同 例若半径为的圆分别与轴的正半轴和射线＝ (≥ )相切，求这个圆的方程． 分析 利用 “ 半径为的圆与轴的正半轴相切 ”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口． 解由题意知，圆心的横坐标及半径为，纵坐标大于，设圆心纵坐标为 (＞ )，则圆的方程为 (－ ) (－ )＝ (＞ )， ∵ 圆与射线＝ (≥ )相切， ∴ ＝， 解得＝， ∴ 圆的方程为 (－ )＋ (－ )＝ . 评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用． 圆弦长的求法 ．利用两点间的距离公式 若直线与圆相交的两个交点分别为 ( ， )，( ，)，则弦长＝ . 例求过原点且倾斜角为 °的直线被圆＋－＝所截得的弦长． 解设直线与圆相交时的两个交点分别为 (， )， (， )，由题意可知直线的方程为＝ . 解方程组得或 ∴＝＝＝ . 评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法．．利用勾股定理 若弦心距为，圆的半径为，则弦长＝ . 例求直线＋＝被圆＋－－－＝所截得的弦长 . 解把圆＋－－－＝化为标准方程为 ( － )＋( －)＝， 所以其圆心坐标为 () ，半径为＝ . 因为圆心 ()到直线＋＝的距离为＝＝，所以弦长＝＝ . ．利用弦长公式 若直线的斜率为，与圆相交时的两个交点分别为 (， )， (， )，则弦长＝－＝ . 例求直线－－＝被圆 (－ )＋＝所截得的弦长 . 解设直线与圆相交时的两个交点分别为 (， )， (， )．由消去整理得 －＋＝，则＋＝，＝ . ∴＝＝＝ . 评注 通常设出弦的两端点的坐标 (不必求出，即设而不求 )，联立直线方程与圆方程消去 (或 ) 转化为关于 (或 )的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解 . 妙用对策简解“圆”的问题 在学习圆的知识时，往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题，解决这类问题的关键是避开复杂运算，减少运算量．现举例介绍求解圆问题的三条简解对策．．合理选用方程 要学会选择合适的“圆的方程”，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就简捷．如果问题中给出圆心坐标关系或圆心的特殊位置或半径大小时，选用标准方程；否则，选用一般方程． 例求圆心在直线－－＝上，且过点 () ， (，－ )的圆的方程． 解设所求圆的方程为 (－ )＋ (－ )＝ () ． 因为圆过点 ()， (，－ )， 所以圆心一定在线段的垂直平分线上． 易得线段的垂直平分线方程为＝－ (－)． 又因为圆心在