正弦定理与余弦定理典型证明、例题练习.pdfVIP

一、正弦定理的几种证明方法 1. 利用三角形的高证明正弦定理 （1）当 ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，  有CD asinB ,CD b sin A 。 C a b c b b a 由此，得  同理可得 ， sin A sin B sinC sinB ， A B D a b c 故有   sin A sin B sinC .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当 ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D，  根据锐角三角函数的定义，有CD asinCBD asinABC CD b sin A 。由此， ， a b c b 得  同理可得  sin A sin ABC sinC sin ABC C ， b a b c a 故有   sin A sin ABC sinC . A B D a b c 由(1)(2)可知，在 ABC 中，   成立.  sin A sin B sinC 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 a b c   sin A sin B sinC . 2. 利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC, 设 BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作 AD ⊥BC, 垂足为 则 Rt△ADB 中,sin B  AD ∴ A AB 1 1 1 1 ∴S△ ABC= a  AD  acsin B 同理,可证 S△ ABC= absin C bcsin A 2 2 2 2 1 1 1 C B ∴ S△ ABC= absin C  bcsin A  acsin B ∴ D 2 2 2 sin C sin A si