正弦函数和余弦函数的图象与性质资料.docVIP

PAGE PAGE 1/ NUMPAGES 15 第3课 正弦函数、余弦函数的图象与性质 区庄 陈龙 【教学目标】 一、知识目标 1、理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 2、理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 3、掌握并学会求正、余弦函数的定义域和值域、周期和最小正周期； 4、理解并掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间． 二、能力目标 通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想． 三、情感目标 通过本节的学习了解三角函数图象的对称美与曲线美． 【教学重点】 正弦函数和余弦函数的图象及其定义域和值域、周期、奇偶性与对称性以及单调性． 【教学难点】 1、利用正弦线画出函数,的图象，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数与最小正周期意义的理解； 2、正弦函数和余弦函数的图象与性质的初步运用． 【知识点梳理】 一、正弦、余弦函数图象 二、正弦函数和余弦函数的性质 1、周期函数的定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． （1）若周期为，则，也是的周期． 因为：． （2）一般结论：函数及函数，的周期． 2．定义域和值域、奇偶性、对称性、单调性 图 象 定义域 值域 最值 当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：函数图象与x轴交点； 对称轴：（通过函数图象最高（低）点） 对称中心：函数图象与x轴交点； 对称轴：（通过函数图象最高（低）点） 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 【典型例题】 题型一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 例题1：画出下列函数的简图： （1） ，； （2） ，． 【解析】（1）按五个关键点列表 0 0 1 0 －1 0 1 2 1 0 1 利用五点法作出简图： 请说出函数与的图象之间有何联系？ 答：函数，的图象可由，的图象向上平移1个单位得到． （2）按五个关键点列表 0 1 0 －1 0 1 －1 0 1 0 －1 利用五点法作出简图： ， 与，的图象有何联系？ 答：它们的图象关于轴对称． 【点评】三角函数作图中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点． 变式1：（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图象： ①，； ②，． （2）你能判断函数和、和的图象有何关系吗？ （3）画出下列函数的简图： ①，； ②，； ③，． 【解析】（1） （2）将函数的图象的x轴以下部分向上翻折得到的图象； 和这两个函数相等，图象重合． （3） 　　 例题2：观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间． （1），（2），（3），（4），（5）． 【解析】（1），，?? （2），， （3），，?? （4）， （5），即?．在一周期 上符合条件的角为， ∴符合条件的角为 ． 【点评】由正弦曲线和余弦曲线得一周期的解再加2kπ． 题型二、定义域与值域 例题3：求函数的定义域． 【解析】由题意得：，解得， 即． 由于的周期都是，所以先在内求出不等式组解集交集后，再加上． 【点评】解三角不等式时，一般是将相位视为一个整体，利用相关函数图象（由函数名决定），可先画出相关曲线，确定相位的值或相应的取值范围，列方程或不等式，最后解出自变量的值或取值范围即可． 变式2：求下列函数的定义域、值域： （1）；　（2）；　（3）． 【解析】（1） ，； （2）由（） 又∵ ，∴ ∴定义域为（），值域为 ． （3）由（）， 又由　 ∴ ∴定义域为（），值域为． 【点评】求值域应注意用到 或 有界性的条件． 例题4：函数的最大值是3，最小值是1，求函数的最大值和最小值及相应的的取值． 【解析】因为，则 （1）当时，，即； （2）当时，，即， 故，(1)，当时，最大值， 当时，最小值； （2），当时，最大值， 当时，最小值． 【点评】最值问题应注意用到 或 有界性的条件． 变式3：已知函数 ，求函数y的值域． 【解析】．将其看做关于的二次函数，注意到， 　　∴当时，，当时， ， 　　∴． 【点评】或的函数，一般利用换元法（令或）化为二次函数，利用二次函数的相关知识求解，但需注意中间变量的取值范围． 例题5：比较大小： （1）； （2）． 【解析】（1）； （2）． 【点评】比较大小时注意脱周--化锐，再利用函数的单调性比较 变式4：比较大小： （1）； （2） 【解析】（1）； （2）． 例题6：要使下列各式有意义应满足什么条件？ （1）；　　（2）． 【解析】（1）由 ，， ∴当 时，式子有意义． （2）由 ，即