正项级数敛散性判别法的讨论 论文.docVIP

PAGE PAGE 1 正项级数收敛收敛判别法 摘 要：级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数敛散性的方法很多，本文主要讨论了正项级数的判别法一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤.并阐述一些正项级数判别的新方法. 关键词：正项级数、收敛、判别法 Abstract: Higher Mathematics series is an important part of teaching, The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many ways, This paper discusses the positive series of distinguishing a number of sub-features, and determine the positive series for convergence of the general steps. and presents a number of positive series of new methods of identification. Key words: Positive series; Convergence; Discriminance; 引言 数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广.但在作加法运算时，许多有限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变.首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能不存在有意义的结果.也就是说，一个级数可能是收敛或发散的.因而，判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题. 教材和很多文献已经给出了关于级数敛散性的判别方法，但实际应用中往往会遇到这样的问题：对于一个给定级数，应采用哪种判别法才能快速而又简洁的判定它的敛散性呢？即应按怎样的步骤去思考，在短时间内很难把握.本文就这一问题做了一些总结和讨论. 正项级数的定义和收敛的充要条件 1.1正项级数的定义 如果级数中各项均有,这种级数称为正项级数. 1.2 正项级数收敛的充要条件 如果级数中，部分和数列有界，即存在某正数M，对有. 正项级数判别法 2.1 比较判别法【 1】 设和是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切nN都有 ，那么 若级数收敛，则级数也收敛； 若级数发散，则级数也发散. 比较判别法的极限形式： 设和是两个正项级数.若，则 （1）当时，和同时收敛或同时发散； （2）当时，若级数收敛，则级数也收敛； （3）当，若级数发散，则级数也发散. 2.2 比式判别法【２】 设为正项级数，且存在某正整数及常数 若对一切，成立不等式，则级数收敛； （2）若对一切，成立不等式，则级数发散. 比式判别法的极限形式 若为正项级数，则 （1）当时，级数收敛； （2）当时，级数发散. 2.3 根式判别法【2】 设为正项级数，且存在某正整数及常数 若对一切，成立不等式，则级数收敛； 若对一切，成立不等式，则级数发散； 根式判别法的极限形式: 设是正项级数，且，则 当时，则级数收敛； 当时，则级数发散. 2.4 积分判别法 设为上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散. 2.5 Raabe判别法【 1】 设为正项级数，且则 （1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散. 2.5.1 第一对数判别法【 设为正项级数，且.则 （1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散. 2.5.2 第二对数判别法【 设为正项级数，且则 当时，级数收敛；（2）当时，级数发散. 引理1 当，有不等式： 证明 作函数.在区间上应用lagrange中值定理可得 也就是说，当，有. 引理2 无穷级数，当时收敛；当时发散 引理3 设级数和为正项级数，存在正整数N，当，满足不等式: ,则 如果收敛，则收敛；（2）如果发散，则发散. 对数第二判别法的证明 (1)当时，则存在，使，由知，对存在正整数，使得当时，有 ，即. 由数列单调递减且趋于知对一切正整数有 .于是当时有 而无穷级数，当时收敛，故由引理3知当时，级数收敛. (2)当时,存在正数，使，由知，对存在正整数，使得当时， 有 ，即 根据且知，存在正整数 ，得当时有 . 取，则当时有 而调和级数是发散的，故由引理3知当时，级数发散. 2.5.3 既然第二对数判别法和Raabe判别法都是以p一级数作为比较标准得出的，那么它们之间有什么内在的必然的联系呢?下面我们将证明第二对数判别法和Raabe判别法是等价的．我们有： 定理