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轮换对称式的最值冋题
版)
(教案
轮换对称式的最值问题
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知识定位
在不等式和求最值的问题中,轮换对称式是十 分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代 数式求最值问题以轮换对称式为主,而这一类有 关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形 式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中 的一大难点。
本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几 种常见处理方法,希望同学们在考场上见到这类 问题时能够有思路有针对性地着手处理,而不是 盲目地尝试变形求解(证)。
知识梳理
—
不等式对称和轮换对称式的定义
在一个不等式中,若把其中任何两个字母
ai,aj i,j 1,2,..., n且i j对调位置后,这个不等式不变
(如①产+上弓其中^0),我们便称此
b+c c+a a+b 2
in不等式是关于也,对称的。如果把不等式中 的字母咧按一定顺序依次轮换(如4换成
in
叮还换成换成绻)后不等式不变(如
②A+I+V“其中论0),我们便称此类 n + c c + ci a + n
不等式是关于 w”轮换对称的。
对称式与轮换对称不等式的性质
由定义易知,对称的不等式一定是轮换对称的
(如①),而轮换对称的不等式却不一定是对 称的(如②就不是对称的)。
关于a觇对称的不等式,由于“互换后原不 等式不变,因此要想怎么排列他们的大小顺
序,只要调换其位即可,故我们可任意排列 q,冬,…,a”的大小顺序(如在①中可设abc )f而 关于“”?,,,是轮换对称的不等式则不能任意排 列其字母的大小顺序,而只能做较弱的排列, 如q la”,a? la”,. . .,% 2a”,即某 是其中的
最大或最小(如②中可设.c, ab\因为我们
总可以通过轮换把某个字母调整到最小或最
大的位置。
2.取得最值的判定
暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到,轮换对 称式取到最值时往往各地位轮换对称的变量 取值相等。在这种情况下我们可以简化问题为 先判断最值和取到最值的条件,在转化为不等 式证明问题(此时取等的条件也作为一个解决 不等式证明的重要提示)。
当然,并不是所有轮换对称式取最值的条件都 是上述,所以我们尽可能用特值等方法验证来 舍弃显然不合理的假定,确认判断正确后再转 化为证明问题,这样可以减少无用功。值得注 意的是,判断各变量相等时取到的是最大还是 最小值与题目要求比对是十分必要的。
轮换对称式常见的处理方法(结合例题讲解)
(1) 凑项法(最常用)
在判断出最值后,利用基本不等式等
号成立的条件凑项证明,只要领悟添
项的技巧,完全可以程式化证明一类 不等式。主要细分为凑项降幂法、凑 项升幂法、凑项去分母法、凑项平衡 系数法。
基本思路:判断该题为轮换对称式; 通过条件得出取最值时各字母或参 数的值;判断是最大或最小值,抓住 其中一项深入研究,构造均值不等式 的其他项,再运用均值不等式加以证 明。
上述各种凑项方法不是相对独立的, 可以交替使用,但凑项的关键是在求 和时能利用已知条件,并能取到等 号。
(2) 求配偶式法(即(1)的进化版本) 当直接配凑较为困难时我们可以通过先 设待定系数求解的方法找到要凑得项。充 分利用轮换对称式等式的结构特点以及 等号成立的条件为导向,运用待定系数法 构造配偶式,然后运用均值不等式等号成 立的条件以及所证轮换对称不等式等号
成立的条件求出待定系数,从而使所证不 等式获得证明。其中设配偶式求配偶因子 是该方法的关键一步和核心部分,也是它 与方法(1)的主要区别。
(3) “非常规最值的应对方法 前几个方法中,首要是确认在各变量取值 相等时取到最值,这类最值问题称为“常 规最值”。然而并非所有的轮换对称式都 满足这一要求,因而面对一些“非常规最 值”问题,也有一些特定的其他方法,如: 构造不等式法、导数法(没有例题,导数 法结合主元思想是证明不等式、求最值很 常规的一类方法,本节不再做说明)和图 像法等。
例题精讲
【试题来源】
【题目】已知x,y,zR ,且x y z 1 ,求
4x 1 .,4y 1 4z 1的最大值
【答案】21
【解析】
猜想当x y z 1时取得最大值,此时
J4x 1 v4y 1』4z 1 ,最大值为 %121。
下证明:因为2、; 4x 1 7 4x 1 ,所以
3 5 3 5 3 5
4x 1 ,7(2x 3),同理 Yy 1、严-),‘ 4z 1、、严?,
上述三式相加,并将x y z 1代入化简即得证。
(本题也可以用琴生不等式易证得)
【知识点】轮换对称式凑项升幂法
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
证明Cauchy不等式a; a;
【答案】(证明题)
【解析】
证明:设a! a2 an a,则皆(讣2
2a ai,
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