正弦定理余弦定理题型.docVIP

知识点 1、正弦定理及其变形 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a，b和A，求B时的解的情况: 如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinAsinB1，则B有两解； 如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB1，则B无解. 3、余弦定理及其推论 4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边。 5、常用的三角形面积公式 （1）； （2）（两边夹一角）； 6、三角形中常用结论 （1） （2） （3）在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。 二、典型例题 题型1 边角互化 [例1 ]在中，若，则角的度数为 【解析】由正弦定理可得a:b:c=3:5:7，,令a、b、c依次为3、5、7，则cosC=== 因为，所以C= [例2 ]?若、、是的三边，，则函数的图象与轴【 】 A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点 D、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得，所以=，因为1,所以0，因此0恒成立，所以其图像与X轴没有交点。 题型2 三角形解的个数 [例3]在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】 A、，，； B、，，； C、，，； D、，，。 题型3 面积问题 [例4] 的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则的面积为 【解析】设△ABC的三边分别：x－4、x、x＋4， ∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x＋4﹚2=﹙x－4﹚2＋x2－2×﹙x－4﹚×x×cos120°，解得：x=10 ∴△ABC三边分别为6、10、14。 题型4 判断三角形形状 [例5] 在中，已知,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一： 由正弦定理，即知 由，得或 即为等腰三角形或直角三角形 方法二：同上可得 由正、余弦定理，即得： 即 或 即为等腰三角形或直角三角形 【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边） 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角） 题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用 [例6]在中，分别为角A，B，C的对边，且且 （1）当时，求的值； （2）若角B为锐角，求p的取值范围。 【解析】（1）由题设并由正弦定理，得，解得，或 （2）由余弦定理，= 即，因为，所以，由题设知，所以 题型6、解三角形的实际应用 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用求出边长,再进行进一步分析. 北甲乙[解析]如图，连结，由已知， 北 甲 乙 ， ， 又， 是等边三角形， ， 由已知，，， 在中，由余弦定理， ．． 因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． 【点拨】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.