正弦函数的图象与性质及三角函数的周期性(基础).docVIP

让更多的孩子得到更好的教育 PAGE 8 正弦函数的图象与性质及三角函数的周期性 A 学习目标： 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.借助图象理解正弦函数的性质. 知识回顾： 1．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系 ． （2）商数关系 ． （3）公式有如下等价形式： 2．诱导公式 诱导公式一： ， ，其中． 诱导公式二： ； ． 诱导公式三： ； ． 诱导公式四： ； ． 诱导公式五： ； ． 诱导公式六： ； ，其中 要点梳理 要点一：正弦函数图象的画法 1．描点法： 按照 、 、 三步法作出正弦函数图象的方法。 2．几何法 利用 作出正弦函数在 内的图象，再通过 得到的图象。 3．五点法 先描出正弦曲线的 、 和三个 这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个 内的图象。 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ， ， ， ， 要点诠释： （1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点。 （2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过 可得到的图象。 要点二：正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象分别叫做 。 （2）图象 要点诠释： （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的 。 （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数。 要点三：函数图象的变换 图象变换就是以正弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。 要点四：周期函数 函数，定义域为I，当时，都有 ，其中T是一个 的常数，则是周期函数，T是它的一个周期． 要点诠释： 1．定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期． 2．对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期． 要点五：正弦函数性质 函数 正弦函数y＝sinx 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调区间k∈Z 增区间 减区间 最值点 k∈Z 最大值点 最小值点 对称中心k∈Z 对称轴 k∈Z 要点诠释： （1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域。 （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。 要点六：正弦型函数的性质。 函数可看作是由正弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过 的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调 对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间。 （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性。对于函数，当 时为奇函数，当 时为偶函数。 要点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。 （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为 。 （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当 时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由 解出，其对称中心的横坐标 ，即对称中心为