拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较.docxVIP

莆 莆 螁 螁 P(xJ * (i =0,1, , n) 膇拉格朗日插值法与牛顿插值法的比较 薄 聿［摘 要］在生产和科研中岀现的函数是多样的。对于一些函数很难找岀其解析表达式。即使在某些情况下，可以写岀 函数的解析表达式，但由于解析表达式的结构相当复杂，使用起来很不方便。插值法即是解决此类问题的一种古老的、 然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中， 而且也是进一步学习数值计算方法的基础。 拉格朗日插值法和牛顿插值法则是二种常用的简便的插值法。本文即是讨论拉格朗日插值法和牛顿插值法的理论及二者 的比较。 蝿［关键词］拉格朗日插值 牛顿插值 插值多项式 比较 薆 芄一、 背景 賺在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际 问题中，虽然可以断定所考虑的函数 f(x)在区间［a,b］上存在且连续，但却难以找到它的 解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值(即一张函数表) 。显然， 要利用这张函数表来分析函数f (x)的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非 常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表(或结构复杂的解析表达式) ，构造某 个简单函数P(x)作为f (x)的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的 方法。 袇如设函数y = f(x)在区间［a,b］上连续，且在n 1个不同的点a_x0,x1，…，xn —b上分别 取值y°,…,yn。 羆插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类 门中，求一简单函数P(x)，使 而在其余点 而在其余点Xj (i = 0,1,k—1,k 1, , n)上取值为零，即 膂而在其他点X=Xj上，作为f(x)的近似。 艿通常，称区间［a,b］为插值区间，称点Xo,Xi, ,Xn为插值节点，称式P(Xi) = yi为插值条 件，称函数类门为插值函数类，称P(x)为函数f (x)在节点x0,x1/ ,Xn处的插值函数。求 插值函数P(x)的方法称为插值法。 蒅插值函数类门的取法不同，所求得的插值函数 P(x)逼近f(x)的效果就不同。它的选择 取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项 式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛 顿插值法就是这类插值问题。 蒁在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过 n的代数多项式 罿 P(x) =a0 亠 亠 anxn 莈使 Pn(Xi)二 yi (i =0,1, ,n)，其中,ao,ai/ ,an为实数。 袅拉格朗日插值法即是寻求函数Ln(x)(拉格朗日插值多项式)近似的代替函数 f(X)。相 似的，牛顿插值法则是通过 Nn(X)(牛顿插值多项式)近似的求得函数的值。 节 肁—、理论基础 蒆(一)拉格朗日插值法 芄在求满足插值条件n次插值多项式Pn(x)之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点 Xi (i =0,1/ ,n)中任一点Xk(0^k^ n)，作一 n次多项式g(x)，使它在该点上取值为1, 0 0 羂 Ik (Xi ) = * 肂上式表明n个点Xo*，…，xk」，xk “，…，x都是n次多项式lk(x)的零点，故可设 衿 lk(x)二 Ak(X —Xo)(X - Xi) (X - Xk/)(X —Xk 1) (x —Xn) [1] 螃其中，Ak为待定系数。由条件Ik(Xk)=1立即可得 1 (Xk -Xo)…(Xk -XkJ(Xk -Xk .1)…(Xk - Xn) 衿故 lk(x)= (X-Xo) (X-Xk」)(X-Xk1) (X-Xn) (Xk -Xo) (Xk -Xkj)(Xk -Xk 1) (Xk - Xn) 羇由上式可以写出n 1个n次插值多项式l0(x)，h(x),…，ln(x)。我们称它们为在n 点Xo,X1/ ,Xn上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。 莇利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的 n次插值多项式 蒃 y°lo(X)%l1(X) ynln(x) -1个节 1 i = k 羁根据条件lk(X|)=」 ，容易验证上面多项式在节点xi处的值为yi(i=0,1； 0 i式k 因此，它就是待求的n次插值多项式Pn(x)。 ,n)， 艿形如yolo(x) ? yJdx)亠?亠ynln(x)的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为 Ln(x)， Ln(x) =y1h(x) y2l2(X) y」n(x) 祎 _ (X-X。) (X -Xk4)(X- Xk J (X-Xn) (Xk -Xo) (Xk -Xk4)(Xk -Xk1)…(Xk - Xn) 点 点Xk处的m阶差分为 {yk 」yk卑-AmJLyk。 膃作为常用的特例，令n =1,由上式即