圆与方程教案及练习题剖析.docx

圆与方程 一、圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图 形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中， 任何一条直线 都可用一个二元一次方程来表示， 那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果 能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径， 设圆的圆心坐标为 A(a,b) ，半径为 r 。（其 中 a、b、 r 都是常数， r0 ）设 M(x,y) 为这个圆上任意一点，那么点 M满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r}, 由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件 ( x a)2 ( y b)2 r ① 化简可得： ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 ② 引导学生自己证明 (x a)2 ( y b)2 r 2 为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为 A(a,b), 半径为 r 的圆的方程，我们把它叫做 圆的标准方程 。 1. 圆的标准方程：方程 (x a)2 ( y b) 2 r 2 (r 0) 表示圆心为 （，），半 A a b 径长为 r 的圆 . 求圆的标准方程的一般步骤为： (1) 根据题意，设所求的圆的标准方程为 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 ． 根据已知条件，建立关于 a， b， r 的方程组； (3) 解此方程组，求出 a， b， r 的值； . 将所得的 a，b，r 的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准 方程． 求圆的标准方程的常用方法： （1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程； 2）待定系数法： 先根据条件列出关于 a，b，r 的方程组，然后解出 a，b，r ，再代入标准方程 . 二、圆的一般方程 1. 方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 表示的曲线不一定是圆，只有当 D 2 E 2 4F 0 时，它表示的曲线才是圆， 我们把形如 x2 y 2 Dx Ey F 0 的表示圆的方程称为圆的一般方程 . 2. 对于方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 . (1) 当 D2＋E2－ F＞ 0 时，方程表示（ ）当 D 2 E 24 F 0 时，表示以（ - D ， 4 1 2 -E）为圆心, 1 D 2 E 2 4 F 为半径的圆； 2 2 - 1 - （2）当 D2 E 2 4F 0时，方程只有实数解 x D ， E ，即只表示一个点（- D ， 2 2 2 -E）; 2 （3）当 D 2 E 2 4F 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 圆的一般方程的特点： ① x2 和 y2 的系数相同，不等于 0．②没有 xy 这样的二次项． 圆的一般方程中有三个特定的系数 D，E，F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显， 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 例 1．求过三点 A（ 0， 0），B（1，1）， C（ 4， 2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件， 很难直接写出圆的标准方程， 而圆的一般方程则需确定三 个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程 解：设所求的圆的方程为： x 2 y2 Dx Ey F 0 ∵ A(0,0), B(11，）,C(4,2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解 . 把它们的坐标代入上面的方程，可以得到 关于 D , E, F 的三元一次方程组 . F 0 即 D E F 2 0 4D2EF200 解此方程组，可得： D 8, E 6, F 0 ∴所求圆的方程为： x 2 y2 8x 6y 0 r 1 D 2 E 2 4F5；D 4, F 3 2 2 2 得圆心坐标为（ 4，-3 ） . 或 将 x 2 y 2 8x 6 y 0左边配方化为圆的标准方程， ( x 4) 2 ( y 3) 2 25 , 从而求出圆的半径 r 5 ，圆心坐标为 (4,-3) 练习： 1．判断二元二次方程 4x2 4 y2 4 x 12 y 9 0 是否表示圆的方程？如 果是，请求出圆的圆心及半径 . - 2 - 2 ． 若 方 程 a2x2 +(a+2)y 2+2ax+a=0 表 示 圆 ， 则 a 的 值 为 （ ） A.-1. B.2 C.-1 或 2 D.1 3. 一个圆经过点 A(5,0) 与 B( 2,1)，圆心在直线 x 3 y 10 0 上，求此圆的方程 . 4. 求经过 A(4,2), B( 1,3) 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为 4 的圆的方 程