定积分中奇偶函数及周期函数处理方法总结计划.docx

定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法 一、基本方法 ( 一 ) 、奇偶函数和周期函数的性质 在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论 1、若 f x 是奇函数（即 f x f x ），那么对于任意 的常数 a，在闭区间 a,a a 0。 上， f x dx a 2、若 f x 是偶函数（即 f x f x ），那么对于任意的常数 a，在闭区间 a,a a f x dx a 上 2 f x dx 。 a 0 3、若 f x 为奇函数时， f x 在 a, a 的全体原函数均为偶函数；当 f x 为偶函 数时， f x 只有唯一原函数为奇函数即 x dt . f t 0 事实上：设 f x dx x t dt C ，其中 C 为任意常数。 f 0 当 f x x t dt 为偶函数，任意常数 C 也是偶函数 f x 为奇函数时， f 的全体 0 原函数 x f t dt C 为偶函数； 0 当 f x x 0时为偶函数 为偶函数时， f t dt 为 奇函 数， 任意 常数 C 0 x t dt C 既为非奇函数又为非偶函数， f x 的原函数只有唯一的一个原函 f 0 数即 x f t dt 是奇函数。 0 4、若 f x 是以 T 为周期的函数（即 f T x f x ），且在闭区间 0,T 上连续可 a T T T 积，那么 a f x dx f x dx 2T f x dx 。 0 2 5、若 f x 是以 T 为周期的函数（即 f T x f x ），那么 x dt 以 T 为周期 f t 0 T 0 的充要条件是 f t dt 0 事实上： x T x f t dt x T f t dt x T f t dt f t dtf t dt ， 由 此 可 得 0 0 x 0 0 . x T x T f t dt f t dt f t dt 。 0 0 0 ( 二 ) 、定积分中奇偶函数的处理方法 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶 函数和的形式，则分开积分会简化计算。 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以 按 照 如 下 方 法 处 理 ： 设 p x f x f x ， q xf x f x ， 则 f x p x q x ，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。 2 ( 三 ) 、定积分中周期函数的处理方法 对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期） ，并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。 二、典型例题 例 1 设 f x f 在 a, a 上连续可积，证明： (1) 若 f 为奇函数则 a x dx 0 (2) 若 f 为偶函数，则 a x dx a f x dx 。 f f 2 a a 0 证明： (1) 因为 f x f x a x dx 0 x dx a x dx ，而 f f f a a 0 a a a x a f x dx f x dx 0 f x d f x dx 对 前 一 项 中 令 0 0 0 t a x a t dt a x dx a f x dx x ，则f x d f f 0 0 0 0 a x dx a a f x dx 0 . 所以f f x dx a 0 0 (2) 因为 f x f x a f x dx 0 f x dx a x dx ， 而 a f a 0 a x dx a x dx a x d x a t 相似的 f f f 0 f x dx ，对前一项中 令 x 0 0 0 有 a x d x a t dt a x dx ，所以 a a x dx . f f f f x dx 2 f 0 0 0 a 0 例 2 设 f 在 , 上连续，且以 T 为周期，证 a T T T a f x dx 0 f x dx 2T f x dx 。 2 证明： 由 a T 0 x dx T a T x dx ，在上式右端最后一 f x dx f f x dx f a a 0 T ;. . 个 分中，令 x T t 有 a T x dx a T t dt a t dt 0 T f f f f x dx ， 0 0 a a T 0 f x dx T f x dx 0 f x dx T f x dx ，成立 即有 f x dx a 0 a 0 a T T T T T T 再