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学习改变命运
求解排列组合应用题的“八字诀”
分一一注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题;通常情况 下,可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题,然后各个击破之。
特一一从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特 殊的位置;对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾,则容易找到通向成功之路的入口处。
反一一利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时,即正面进攻很难奏效时,可以考 虑从问题的反面入手,有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。
等一一利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上岀现的概率相等,有时可以直捣题目结论。
化一一注意用转化思想指导解题。许多排列组合应用问题,表面上看似乎是风马牛不相及,若能用转化 的思想方法剥去其外包装,则会发现其本质是相同的,仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通 向成功彼岸的指路明灯,对此要引起特别的重视。
捆一一解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。
插一一解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。
推一一运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题,未知问题转化为 已知问题的重要手段之一,也是应用转化思想指导解题的重要体现。
若能对上述“八字诀”做到烂熟于心,又能对具体情况作具体分析,合理地选择方法和技巧,并综合运 用之;则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注,说明“八字诀”的具体应用。
例2 .( 1994年上海高考题)计划在某画廊展示出 10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国 画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须放在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有( ) 种
A A4A5 b .氷A C . A3A4A D .氏A4A
TOC \o 1-5 \h \z 解:第一步:确定4幅油画的相对位置(捆在一起)的方法数 a4 .
第二步:确定5幅国画的相对位置(捆在一起)的方法数 A5 .
2 i
第三步:确定国画和油画的相对位置的方法数 A,再把水彩画插在国画和油画之间 A .
4 4 2
二满足条件的陈列方式有: a A a2种故选Do
评注:由于本题的主要附加条件是“连在一起” ,故容易相到使用“捆”的技巧。
例3 . ( 2002年全国高考题)从正方体的6个面中选取3个面,其中有两个面不相邻的选法共有 ( )
A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种
解评:由于正面考虑比较复杂,而问题的反面即为三个面两两相邻,一 个顶点对应于一种取法,故用“正难
则反”的方法解之,即C; -8 = 20 -8 =12种故选Bo
例4 .五个成年人和两个小孩(一男一女)排成一排照相,要求每个小孩两边都是成年人,且小女孩要 和其母亲(五个成年人之一)排在一起,问:有多少种不同的排法?
解:第一步:从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成 “成女母”的方法数为:
c4 A^=8o
第二步:把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数: a4 =24
思考成就未来
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第三步
€
:把小男孩插入相应的位置的方法数为:
1 ■■? 1
a3=3.
???满足条件的排法数为:8X 24X 3=576.
评注:
①由于小女孩最为特殊,故首先照顾小女孩,
即从特殊的元素入手;
2
二 A
二 An=1+Cnx1+Cnx2+Cnx3+
小女孩必须和母亲在一起,且两边都是成年人,故易想到用“捆”的技巧;
由于小男孩必须排在两成年人之间,故可采用“插”的技巧。
二
例5.编号为1.2.3 n的n个人,坐到编号为1.2.3 n的n把椅子上,且每个人都不对号入座的方
V ■ 少
法数记为Xn。求,为公2公3,公5。
解:易见:Xi =0 , X2 =1, X3 = 2,
V n个人坐到n把不同的椅子上的方法数为 An。其中: 有且仅有n个对号入座的方法数为:1.
有且仅有(n-1)个人对号入座的方法数为:cnx1.
有且仅有(n-2)个人对号入座的方法数为: C:X2 .
有且仅有(n-3)个人对号入座的方法数为: CpX3 .
有且仅有(n-k)个人对号入座的方法数为: CpXk.
有且仅有1个人对号入座的方法数为: 有且仅有0个人对号入座的方法数为:
Xn .n
Xn .
n -1
+ Cn Xn4 + Xn .
令 n=4 可得:24=1+ C4 X2 + C4 X3 + X4 =1+6+8+ X4 二 X4 =9.
0 0 4
令 n=5 可得:120=1+C5X2+ C5X3 + C5X4+ 疋=1+10+20+45+ x5,
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