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平面向量与向量的方法的应用(一) (教师版)
一、用向量表示三角形的心” (重心、内心、垂心、外心)
在:ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c .
三角形四心”的向量的统一形式: X是 ABC的心二■ XA XBXC = 0 .
引理:若X是:ABC内的一点,贝y S XBC : S XAC : S?Xab「:」
XA」XB 斗=0. _.斗
证明:这里只证明? XA .iX,XC =0二SXBC*SXAC : S严B (■』八
均为正数).作 XM z XA, XN = XB , XP Xc,则 XM XN XP=0 .容易
J
S XNP 1 | XN
2
证明点X为MNP的重心?于是
T T
XB||XC|s in BXC
T
XN ||XP|sin. NXP
—,所以
1
I S XNP
Pv
S X BC : S XAC : S XAB
S.XBC
人 卩 v
S MNP,冋理 S XAC S MNP, S XAB S MNP,所
取’-S XBC,则二 S XAC, - S XAB, S.XBC X^ S XAC XB S XBA X^ - 0 ? 练习: ,,
1.
2.
G^^GB =生=半是- ABC 的
a」A b IB c IC 0
sin2A OA sin2B OB sin2C OC = 0 = O 是 ABC 的
2 2 2
心.
i 是 a ABC 的 心.
心.
!_
2
OA = OB =OC := O 是匚AB^^^
H 在 ABC 内部,则 tan A HA tanB HB tanC HC = 0 二 H 是:ABC 的 —心
HA HB 二
2
HA BC HB AC HC AB H 是 ABC 的
当你学完正弦定理和余弦定理后,会有更多的表示方法.
AB ac
所在直线一定通过 ABC的
灣」AC|
AB諂C所在直线一定通过 卫ABC的 _
aB ac
—— 1—— 所在直线一定通过 ABC的
| AB| cosB | AC | cosC
已知A, B,C是坐标平面内不共线的三点,O是坐标原点,动点P满足
T T T
二[(1-’ )OA (1- QB,(T 2OC] R ),则点 P 的轨迹一定经过 ABC 的
T T
T
T
HB HC
二 HC
HA =
H是
h 2
2
2
是2
ABC的
心.
心.
5.
6.
7.
心.
8.
OP-1
3
心.
案:1.亠 2 .^内心.3 .外心.4 .垂心 HA HB = HB 士 T T
HA HB =|HA| |HB |cos BHA 二- |HA| | HB|cosC
S H A毛
又 S.Xbc
心.
心.
HC = HC HA 因为」H 在
-H j HaBn,同理C
XA S.xac XB S xba XC = 0,所以
S. hac「-H^HC tanB ,
(提示:H为 ABC
ABC 内部,
_ _ 2S嗇AB cOsC sin(180; -C)
的垂心
sin (180 工)
S hbc「-HB HCta nA .
tan A H^+tanB HB斗anC,HC =0 ). 5.内心.6.重心.7.垂心.提示:设 AC
AB
AP =(」
| AB
1
O P [ O A O B OG( OC )OA( - O C ) ]O B
)BC = —|
| cosB | AC | cosC
BC | | BC 1= 0 ) ) 8 .重心.提示:
T T T —I T T T ^4OB-OA OC-OA) =0,即(AB-AC)(AB AC)=0
T T T —I T T T ^4
OB-OA OC-OA) =0,即(AB-AC)(AB AC)=0,所 二AC「,即| AB|=|AC | .所以 ABC^等腰三角形.
AB AC T
已知非零向量 AB和AC满足条件(丄
则MBG是 _了
AB
2.解:设AD
|AB| | AC
三角形
+ ■
AC
,贝U AD为 BAC的角平分线;又由 AD?BC二0得到 丄
AB ac 1
AD _ BC,所以AB = AC .由 得到.A = 60、,所以 ABC为等边三角
|AB| |AC| 2
= 3【O A+O B+ OC 七(AC BC 所以 AP+ BP+CP =—h(CA+CB), 设 C^Tch ,则-C^-C^+ j=— XC^C「),即 3C^=(1 -)C^ .因为 OD 经 过AB的中点,C, P,D三点共线,所以P的轨迹一定经过 ABC的重心.)
二、三角形形状的判定 _* _—
1. O为 ABC所在平面内一点,且满足 (OB - OC)(OB OC - 2OA)二0
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