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解题信息论
解题信息论认为,数学解题的过程,就是数学问题信息 的获取、存输、处理、输出,从而实现解题目标的运动过程. 是 20 世纪 80 年代兴起的一种观点.
1 数学解题的信息论解释
1-1 数学解题信息过程的理论解释
我们分五步作出描述.
(1)解题信息的获取,主要步骤是弄清题意,明确已 知是什么 ?求证(解)是什么 ?亦即从题目本身去获取从何处 人手、向何方前进的信息,我们说过,题目的条件和结论是 两个信息源,从条件发出的信息预示可知并启发解题手段, 从结论发出的信息预告需知并诱导解题方向.为了从中获取 尽可能多的信息,我们需要分析条件、分析结论、分析它们 之间的关系,需要辅以图形或记号,以求得目标与手段的统 一.具体说来,要做好 3 件事:
弄清题目的条件是什么,一共有几个,其数学含义如 何.
弄清题目的结论是什么,一共有几个,其数学含义如 何.
弄清题目的条件与结论有哪些数学联系,是一种什么 样的结构.
(2)从题目本身发出的信息,输入解题主体时,一开 始是孤立的、零散的、混乱的,经过初步的辨认筛选,可确 定哪些是有用的, 哪些是无关的, 有用的要继续接收, 同时, 进行短期的储存;至于那些与解本题无关的信息,则予以淘 汰.与此同时,解题主体又在努力追忆过去在什么地方、什 么情况下曾出现过类似的题目,从“存储机构”中提取出与 本问题有关的定义、定理、公式、法则与类题,索取已知的 知识,调动潜在的技能,进行信息的对比、借鉴和再生.
( 3)把从题目中捕捉的有用信息与从存储机构中提取 到的有关信息结合起来,进行加工、重组与再生,这实质上 就是解题思路的探求.这个过程的往复循环,依信息的反馈 而由大脑来调节.捕捉信息、提取信息、加工重组,这三者 缺一不可,波利亚的高明之处就在于,他在解题表中的许多 问句常常“一语三关”,你见过类似的题目吗?这既是启发 你从“题”中捕捉信息,又是催促你从“记忆”中索取信 息.如果你“见过”,这是一个信息,告诉你如何运动 —— 两组信息也就沟通了; 如果你“没见过”, 这也是一个信息, 等于告诉你进行下一步的行动.
( 4)随着信息分析、加工的进展,解题的前景也逐渐 明朗,经验表明,通过观察、类比、归纳、猜想等手段去获 取解题大体方向有关信息是十分重要和非常有效的,因为简 单的、具体的、局部的情况总带有系统本身的信息,而特殊
解法的思路中常能显示出一般解法的信息流.
(5)信息的输出,表现为解题的书写,值得注意的是, 书写完成之后,信息过程并没有结束,“解答”依然向我们 输入信息,表现为解后的探究.所以,波利亚特地给解题过 程安排了一个必要的环节 —— 回顾,其作用不仅能改进完善 眼前的解题,而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息 (即形成数学观念的基本素材,或称解题经验的信息储备) , 进一步升华为人们有哪些信誉好的足球投注网站、捕获、分析、加工和运用信息能力 的总和 ——数学才能.
1-2 数学解题的信息过程 由上面的分析可以看到, 数学解题的信息过程包括这样一 个“三位一体”的工作:
(1)有用捕捉:从理解题意中捕捉有用的信息,主要是 弄清条件是什么 ?结论是什么 ?各有几个 ?如何建立条件与结 论之间的逻辑联系 ?从题目的叙述中获取“符号信息”, 从题 目图形中获取“形象信息”.知识经验是“有用捕捉”的基 础.
(2)有关提取:即在“有用捕捉”的刺激下,通过联想 而从记忆储存中提取有关的信息,主要是定理、公式、基本 模式等解题依据或解题凭借.良好的认知构结和机智的策略 选择是连续提取、不断捕捉的基础.
3)有效组合:将两组信息进行有效的组合,使之成为 一个和谐的逻辑结构.逻辑思维能力是有效组合的基础,而 “逻辑结构”是否有效,其基本要求应能说服自己、说服朋 友、说服论敌.
(如何填示意图中的空白方框,请参看下例的说明)
这三个步骤往复循环、依信息的反馈而由大脑来调节.
“有用捕捉”、“有关提取”、“有效组合”是心理活 动的外部表现,它恰好对应着人的复杂心理活动的三个环 节:观察试验、联想转化、推理论证.观察试验是前提,联 想转化是关键,推理证明是完成.我们的解题总是在细致观 察、反复试验的基础上,进行广泛的联想、精巧的转化,最 后用合乎逻辑的推理步骤把他写成无懈可击的证明.
2解题信息论的实例说明
2-1 案例1
例1求证:等腰三角形的两个底角相等.
2-1-1案例的呈现
这是初中课本上的一条定理,其思路探求的一个过程是
这样的,如图1,
⑴为了证明两个角相等,我们来找这两个角所在的三角
形;
(2 )由于已知条件只有一个三角形,所以作辅
助线AD ( A的平分线,也可以是BD的中线等),产
生 BAD 与 CAD ;
(3)证明 BAD ◎ CAD ; 图 1
⑷由三角形全等的性质便得出所求.
由此,
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