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第四章 根轨迹法习题及答案 4-1系统的开环传递函数为 G(s)H(s) (s 1)(s 2)(s 4) 试证明点 1 j 3在根轨迹上，并求出相应 的根轨迹增益 K *和开环增益 K。 解若点si在根轨迹上，则点Si应满足相角条 件 G(s)H(s) (2k 1)，如图解4-1所示。 对于s 1 j 3，由相角条件 G(S1)H(s) 0 ( 1 j、3 1) ( 1 j ■ 3 2) 0 ——— 2 3 6 满足相角条件，因此s1 1 j , 3在根轨迹上。将s1代入幅值条件: G(s1)H()1,31 4-2已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。 4-2已知开环零、极点如图 4-22所示，试绘制相应的根轨迹。 解出： K* 12， K — 3 8 2 X X 解根轨如图解i0 解根轨如图解 i 0 图解4-2根轨迹图 4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 4-3 G(s) s(0.2s 1)(0.5s 1) G(s) K (s 5)s(s 2)(s 3) G(s) K(s 1)s(2s 1) 解⑴G(s) 10K s(0.2s 1)(0.5s 1) s(s 5)( s 2) ,5 , 2,0 0 2 5 7 ② 渐近线: a 3 3 (2k 1) a 3 3 , ③ 分离点: 1 1 1 门 0 d d 5 d 2 解之得： d1 0.88， d2 3.7863 (舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为 D(s) 系统有三个开环极点： 0 , p2 2 , ①实轴上的根轨迹： 解得 2 Re[D(j )] 7 10k 0 3 Im[D(j )] 10 0 .10 k 7 与虚轴的交点(0， J10j)。根轨迹如图解 4-3(a)所 示。 ⑵根轨迹绘制如下: ①实轴上的根轨迹： 5, 3 , 2,0 渐近线： 分离点： 用试探法可得 d 0 2 3 ( 5) 2 (2k 1) 2 丄 d d 2 d 3 d 5 0.886。根轨迹如图解 4-3(b)所示。 根轨迹国 ⑶ G(s) K(s 1) s(2s 1) K(s 2s(s 1) 根轨迹绘制如下: ① 实轴上的根轨迹： ,1 J 0.5,0 ② 分离点: 1 1 1 d d 0.5 d 1 解之得： d 0.293, d 1.707 。根轨迹如图解4-3(c)所示。 4-4已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。 ⑴G⑸(十宀 ⑵G(s)…壮代j10) 解⑴G(s) K*(s 2) (s 1 j2)(s 1 j2) ①实轴上的根轨迹: ,2 ②分离点: 1 1 1 d 2 d 1 j2 d 1 j2 解之得： d 4.23 ③ 起始角: P1 180 63.435 90 153.43 根轨迹绘制如下: 由对称性得另一起始角为 153.43。 根轨迹如图解4-4(a)所示。 ⑵ G(s) K*(s 20) s(s 10 j10)(s 10 j10) 系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下： ①实轴上的根轨迹: 20, 0 團()根轨迹團 ^^4-4 ibj棍担边图 ② 起始角： 180 45 90 135 0 根轨迹如图解4-4(b)所示。 4- 5已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。 ⑴ G(s)H K s(s2 8s 20) K s(s 1)(s 2)(s 5) K (s 2) s(s 3)(s2 2s 2) K (s 1) s(s 1)(s2 4s 16) K G(s)H(s) G(s)H(s) G(s)H(s) G(s)H(s) 8s 20) s(s2 实轴上的根轨迹: ,0 渐近线: 0 ( 4 j2) (4 j2) ③分离点: 解之得：d (2k 1) 2,d ④与虚轴交点: j2 1 d 4 j2 3.33 D(s) 把s j代入上方程，整理, 8 s2 20 s K 令其实、虚部分别为零得: 2 Re(D(j )) K 8 0 3 Im( D(j )) 20 0 解得: 2-5 K 160 ⑤起始角：由相角条件 P2 63 , P3 63。 根轨迹如图解4-5(a)所示。 G(s)H(s)亦 1)(s 5) 实轴上的根轨迹: 5, 2, 1,0 渐近线: 分离点: d1 5) ( 2) ( 1) 4.06,d2 去)； ④与虚轴交点： D(s) s4 8s3 17s2 4 (2k 1) 4 0.399, d3 10s K 1.54 令s j ，带入特征方程，令实部，虚部分别为零 Re(D(jlm(D(j )) )) (6 解得: 根轨迹如图解4-5(b)所示。 ⑶ G(s)H(s) K (s 1.12 19.7 2) s(s 3)(s2 2s 2) 系统有四个开环极点、