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第四章 根轨迹法习题及答案
4-1系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
(s 1)(s 2)(s 4)
试证明点 1 j 3在根轨迹上,并求出相应
的根轨迹增益 K *和开环增益 K。
解若点si在根轨迹上,则点Si应满足相角条
件 G(s)H(s) (2k 1),如图解4-1所示。
对于s 1 j 3,由相角条件
G(S1)H(s)
0 ( 1 j、3 1) ( 1 j ■ 3 2)
0 ———
2 3 6
满足相角条件,因此s1 1 j , 3在根轨迹上。将s1代入幅值条件:
G(s1)H()1,31
4-2已知开环零、极点如图4-22所示,试绘制相应的根轨迹。
4-2已知开环零、极点如图
4-22所示,试绘制相应的根轨迹。
解出:
K* 12, K — 3
8 2
X
X
解根轨如图解i0
解根轨如图解
i
0
图解4-2根轨迹图
4-3已知单位反馈系统的开环传递函数,试概略绘出系统根轨迹。
4-3
G(s)
s(0.2s 1)(0.5s 1)
G(s)
K (s 5)s(s 2)(s 3)
G(s)
K(s 1)s(2s 1)
解⑴G(s)
10K
s(0.2s 1)(0.5s 1)
s(s 5)( s 2)
,5 ,
2,0
0 2 5
7
②
渐近线:
a
3
3
(2k 1)
a
3
3 ,
③
分离点:
1
1
1 门
0
d
d 5
d 2
解之得:
d1
0.88,
d2 3.7863 (舍去)。
④
与虚轴的交点:
特征方程为
D(s)
系统有三个开环极点: 0 , p2 2 ,
①实轴上的根轨迹:
解得
2
Re[D(j )] 7 10k 0
3
Im[D(j )] 10 0
.10
k 7
与虚轴的交点(0,
J10j)。根轨迹如图解
4-3(a)所
示。
⑵根轨迹绘制如下:
①实轴上的根轨迹: 5, 3 , 2,0
渐近线:
分离点:
用试探法可得 d
0 2 3 ( 5)
2
(2k 1)
2
丄
d d 2 d 3 d 5
0.886。根轨迹如图解 4-3(b)所示。
根轨迹国
⑶
G(s)
K(s 1) s(2s 1)
K(s
2s(s
1)
根轨迹绘制如下:
①
实轴上的根轨迹:
,1
J
0.5,0
②
分离点:
1
1
1
d
d
0.5
d 1
解之得:
d
0.293, d
1.707
。根轨迹如图解4-3(c)所示。
4-4已知单位反馈系统的开环传递函数,试概略绘出相应的根轨迹。
⑴G⑸(十宀
⑵G(s)…壮代j10)
解⑴G(s)
K*(s 2)
(s 1 j2)(s 1 j2)
①实轴上的根轨迹:
,2
②分离点:
1
1
1
d 2
d 1
j2 d 1
j2
解之得:
d
4.23
③
起始角:
P1
180
63.435
90
153.43
根轨迹绘制如下:
由对称性得另一起始角为 153.43。
根轨迹如图解4-4(a)所示。
⑵ G(s)
K*(s 20)
s(s 10 j10)(s 10 j10)
系统有三个开环极点和一个开环零点。
根轨迹绘制如下:
①实轴上的根轨迹:
20, 0
團()根轨迹團
^^4-4 ibj棍担边图
② 起始角: 180 45 90 135 0
根轨迹如图解4-4(b)所示。
4- 5已知系统的开环传递函数,试概略绘出相应的根轨迹。
⑴ G(s)H
K
s(s2
8s
20)
K
s(s
1)(s
2)(s
5)
K (s
2)
s(s
3)(s2
2s
2)
K (s
1)
s(s
1)(s2
4s
16)
K
G(s)H(s)
G(s)H(s)
G(s)H(s)
G(s)H(s)
8s 20)
s(s2
实轴上的根轨迹:
,0
渐近线:
0 ( 4 j2)
(4 j2)
③分离点:
解之得:d
(2k 1)
2,d
④与虚轴交点:
j2
1
d 4 j2
3.33
D(s)
把s j代入上方程,整理,
8 s2
20 s K
令其实、虚部分别为零得:
2
Re(D(j )) K 8 0
3
Im( D(j )) 20 0
解得:
2-5
K 160
⑤起始角:由相角条件
P2
63 ,
P3 63。
根轨迹如图解4-5(a)所示。
G(s)H(s)亦
1)(s
5)
实轴上的根轨迹:
5,
2,
1,0
渐近线:
分离点:
d1
5) ( 2) ( 1)
4.06,d2
去);
④与虚轴交点:
D(s) s4 8s3 17s2
4
(2k 1)
4
0.399, d3
10s K
1.54
令s j ,带入特征方程,令实部,虚部分别为零
Re(D(jlm(D(j
))
))
(6
解得:
根轨迹如图解4-5(b)所示。
⑶ G(s)H(s)
K (s
1.12
19.7
2)
s(s 3)(s2 2s 2)
系统有四个开环极点、
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