2021数学模型第三版课后习题答案.docx

《数学模型》作业解答 第二章（1）（2008年9月 16日） 1．学校共 1000名学生， 235人住在A宿舍， 333人住在 B宿舍， 432人住在 C宿舍.学生们要组织一个 10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后 , 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者 ; （2）. §1 中的 Q值方法； （ 3）.d Hondt 方法：将 A、B、C各宿舍的人数用正整数 n=1,2,3, ??相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 A 235 B 333 111 C 432 216 144 108 将所得商数从大到小取前 10 个（ 10 为席位数），在数字下标以横线，表中 A、 B、 C 行有横线 的数分别为 2，3，5，这就是 3个宿舍分配的席位 . 你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从 10个人增至 15人，用以上 3 种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列 表比较 . 解： 先考虑 N=10 的分配方案， 方法一（按比例分配） 分配结果为： n1 3, n2 3, n3 4 方法二（ Q 值方法） 9 个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 第 10 个席位：计算 Q 值为 Q3最大，第 10 个席位应给 C.分配结果为 n1 2, n2 3, n3 5 方法三（ d Hondt 方法） 此方法的分配结果为： n1 2, n2 3, n3 5 pi 此方法的道理是： 记 pi 和 ni 为各宿舍的人数和席位（ i=1,2,3 代表 A、 B、 C 宿舍） . i 是每席位代 ni 表的人数，取 ni 1,2, , 从而得到的 pi 中选较大者，可使对所有的 i, pi 尽量接近 . ni ni 再考虑 N 15的分配方案，类似地可得名额分配结果 . 现将 3种方法两次分配的结果列表如下： 宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3） A 3 2 2 4 4 3 B 3 3 3 5 5 5 C 4 5 5 6 6 7 总计 10 10 10 15 15 15 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数 n 与转过时间的数学模型 . 解： 设录像带记数器读数为 n 时，录像带转过时间为 t. 其模型的假设见课本 . 考虑 t 到 t t 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 vdt （r wkn）2 kdn,两边积分， tn 得 vdt 2 k （r wkn）dn 00 第二章（2） （2008年 10 月 9 日） 15．速度为 v 的风吹在迎风面积为 s的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率 P与v、S、 的关系 . 解: 设 P、 v、 S、 的关系为 f (P,v,s, ) 0， 其量纲表达式为 : [P]= ML2T 3, [ v]= LT 1,[ s]= L2,[ ]= ML 3 , 这里 L,M,T 是基本量纲 . 量纲矩阵为： 2 1 2 3 (L) 1 0 0 1 (M) A= 3 1 0 0 (T) (P) (v) (s) ( 齐次线性方程组为 ： 它的基本解为 y ( 1,3,1,1) 由量纲 Pi 定理得 1 3 1 1 P v s ， P 3 vs 11 ， 其中 是无量纲常数 16．雨滴的速度 v与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物 体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法 给出速度 v 的表达式 . 解：设 v, , ,g 的关系为 f( v, , , g ) =0.其量纲表达式为 [ v ]=LM0T-1，[ ]=L -3MT 0， [ ]=MLT-2(LT-1L-1)-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ g ]=LM0T-2,其中 L，M，T是基本量纲 . 量纲矩阵为 1 3 1 1 (L) 0 1 1 0 (M) A= 1 0 1 2 (T) (v) () () (g) 齐次线性方程组 Ay=0 ，即 的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 31 由量纲 Pi 定理 得 v 3 1 g. v 3g ，其中 是无量纲常数 . 16* ．雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 、 特征尺寸 和重力加速度 g 有关，其中粘滞系数的 定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数， 用量纲分析方法给出速度 v 的表达式 . 解：设 v, , , ，g 的关系为 f (v, , , ,g) 0 .其量纲表达式为 [ v]=LM0T-1，[ ]=L -3 MT 0， [ ]=MLT-2(LT-1L-1)-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ ]=LM 0T0 ，