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板块
考试要求
A级要求
B级要求
C级要求
直线与圆的
W ¥ 方 位置大糸
了解直线与圆的位置关 系;了解切线的概念, 理解切线与过切点的半 径之间关系;会过圆上 一点画圆的切线
能判定一条直线是否为圆的切线;能 利用直线和圆的位置关系解决简单问 题
能解决与切线有关的
问题
切线长
了解切线长的概念
会根据切线长知识解决简单问题
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
1、设OO的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:
宀护¥方 位置大糸
图形
定义
性质及判定
相离
6
_
□
直线与圆没有公共点.
d 二直线I与OO相离
相切
@_
直线与圆有唯一公共点,直线叫做 圆的切线,唯一公共点叫做切点.
d =r=直线I与OO相切
相交
v-_
直线与圆有两个公共点,直线叫做 圆的割线.
d v r二直线I与OO相交
从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示:
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2
1
0
圆心到直线的距离 d与半径r的关系
d cr
d =r
d r
公共点名称
交占
八、、
切点
无
直线名称
割线
切线
无
、切线的性质及判定
切线的性质:
定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
切线的判定:
定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
距离法:到圆心距离等于半径的直线是圆的切线;
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线长和切线长定理:
⑴ 切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
⑵ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切
线的夹角.
①切线的判定定理
设OA为O O的半径,过半径外端 A作I丄0A,贝U O到I的距离d=r, ??? I与O O相切.因此,我们得
至U:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注:定理的题设 ① 经过半径外端”② 垂直于半径”,两个条件缺一不可.结论是 直线是圆的切线”?举
例说明:只满足题设的一个条件不是 O0的切线.
我们分析:这个定理共有三个条件:一条直线满足:(1)垂直于切线(2)过切点 (3)过圆心0TAA三、0
我们分析:这个定理共有三个条件:一条直线满足:
(1)垂直于切线(2)过切点 (3)过圆心
0
T
A
A
三、
0
M
T
B
证明一直线是圆的切线有两个思路: (1)连接半径,证直线与此半径垂直; (2)作垂线,证垂足在圆
②切线的性质定理及其推论
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
定理:①过圆心,过切点 = 垂直于切线
0A过圆心,0A过切点A,则0A丄AT
角形②经切圆,垂直于切线=过切点
AB过圆心 斗丄上
-■ M为切点
AB _ MT
③经过切点,垂直于切线 =?过圆心
fl gM 丄 MT〕
. : AM过圆心
2
定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形 叫做圆的外切三角形.
多边形内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.
直角三角形的内切圆半径与三边关系
(1)(1 )中,设a ,b.c分别为:ABC
(1)
(1 )中,设
a ,b.
c分别为:ABC中.A , B , C的对边,面积为 S
则内切圆半径(s 1 1
则内切圆半径(
s 1 1
,其中 p a b c ; 图(2 )中,.—C=90,则 r a,b-c
p 2 2
四、典例分析:切线的性质及判定
【例1】如图,AB是LI O的直径,点D在AB的延长线上,过点D
【例1】
如图,
AB是LI O的直径,点D在AB的延长线上,过点D作LI O的切线,切点为C,若/A = 25 ,
A
B
A
D
固
【例2】
如图,直线 AB与OO相切于点— A , OO的半径为A2,若.OBA=30,则OB的长为( )
A.
A. 4.3 B. 4
C. 23 D. 2
【巩固】如图,AB与OO相切于点B,线段OA与弦BC垂直于点D , AOB=60 , BC = 4cm,则切线
【巩固】
cm .
【例3】如图,若O的直径AB与弦AC的夹角为30,切线CD与AB的延长线交于点
【例3】
如图,若O的直径AB与弦AC的夹角为30,切线
CD与AB的延长线交于点 D,且L| O的半
【巩固】
径为2,则CD的长为( )
A. 2、3 B. 43 C. 2
巩固
如图,EB为半圆O的直径,点 A在EB的延长线上,
A
AB =2,半圆O的半径为2,贝U BC的长为
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