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行列式
知识结构网络图
概念
不同行、不同列的n个元素之积的代数和
性质
性质
经转置行列式的值不变;
某行有公因数k,可把k提到行列式外;
某行所有元素都是两个数的和,则可写成两个行列式之和;
展开式
n
Dn = aik Ak
kA
余子式、代数余子式
行列式
n
Dn = akj Akj
厂克拉默法则;
应用彳判断方阵的可逆,利用伴随几种求逆矩阵; 匚线性相关性的判定;
应用
证明A = 0R(An6)V n ;
证明A = 0
Y
0是方阵A的特征值;
I
A = — A
行列式是线性代数中的重要工具,在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特 征值、判断二次型的正定性等方面都要用到?本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式?行 列式的计算除了利用性质及展开定理外,还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等,计算方法多, 技巧性强,这是难点所在?要掌握好这些方法,首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律,针对其特 点采取适当的方法;其次是要注意总结、积累经验,不断提高运算能力.
5
2
2
,证明
3
5
3
也是9的倍
1
2
4
行列式的性质
【例】:已知531, 252, 234都是9的倍数,利用行列式的性质(而不是展开)
数。
5
2
2
5
2
2
5
2
2
解答:
3
5
3
2
D +10 +10「2
3
5
3
1 r3 9
3
5
3
1
2
4
531
252
234
58
27
26
解答:设原行列式为。盼二「则新的行列式为
解答:设原行列式为
。盼二「则新的行列式为
,
02 -。3
detB =
Otn^-Otn
日P丿
det Bn
det B
n
特殊行列式
1、(主)对角行列式、上(下)三角行列式
a11a
a11
a22
a11
311 曰1
III
曰1
a11 322
=
322
III
3i1
■1 1 -
311 3l1 1 I I 3nn
-
3nn
n
:11 aii
i 土
2、(次)对角行列式、上(下)三角行列式
anl31n3
anl
31n
31n
a11 1 | | a1n 31 n
32,n 丄
=
32,n 丄 32,n
?
=
321 III还小丄
3n 1 1 1 1 3n,n 丄 3nn
? ?
3n1
二 一1
ai
3、分块三角行列式
形式简记为:bSB—kn
形式简记为:
bSB
—kn A B
1
1
III
1
1
1
Xi
2
Xi
III
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Xi
Xi
X2
III
Xn」
Xn
1
X2
2
X2
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1
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Xn
1
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Xn
f (Xi,X2川 |,Xn 戶
n
(Xi —Xj
)
4、范德蒙德行列式
n _i j ,1
「T〔l Mnd-Xj
X3 - Xj ][| :;:X2 - Xj
2」1 1」_1
f Xi,X2
f Xi,X2, MX = 「 Xn -Xj
nq亘
n _2 _j 1
h[Xn-Xn 二 X. - X.
丨||人-X2 -为
Xnd-Xn^ 人」-Xn: W Xn」-X2 X.」-为
III
X3 - X2 X3 - X1
X2 -X1
认识范德蒙德行列式
可以将n阶范德蒙德行列式看成式关于 n个变量x-i , x2|, Xn的函数,即Dn = f x1,x2^| ,Xn。此种类型
行列式具有如下三个特点:
③从列的角度看:第j列元素从上到下依次为同一个变量 Xj的零次幕、1次幕、…、n— 1次幕,j=1,2川I,n ;
从行的角度看:第i行元素是从左往右依次为 冷,《,川,Xn的i — 1次幕,i=1,2,川,n
、 1
从结果看:f捲必,川风 =: Xj -旳 是关于变量x-i, x2|,xn的n n-1次齐次函数;而且该
n^j 亘 2
1
齐次函数可以分解为 门一1个一次因式 xi -Xj之积,其中n 一 i ? j -1,即脚标大者与脚标小者之差。
(说明:i可以取值为1,2,|||, n,例当i取值为4时,j只可以取值为3、2、1,即区间lj -1,1中的每一个 整数)
当给定具体的范德蒙德行列式时,可能变量采用不同的名称,或者是已经赋予具体的值。
参见“范德蒙德行列式专辑”
认识余子式(Mi nor )和代数余子式(Algebraic Min or ),及其之间的关系
det? )的(i, j )元ay的
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