线性代数各知识及脉络图.docx

- - PAGE # - - - PAGE # - 行列式 知识结构网络图 概念 不同行、不同列的n个元素之积的代数和 性质 性质 经转置行列式的值不变； 某行有公因数k,可把k提到行列式外； 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和; 展开式 n Dn = aik Ak kA 余子式、代数余子式 行列式 n Dn = akj Akj 厂克拉默法则； 应用彳判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵; 匚线性相关性的判定； 应用 证明A = 0R(An6)V n ； 证明A = 0 Y 0是方阵A的特征值； I A = — A 行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特 征值、判断二次型的正定性等方面都要用到?本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式?行 列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多， 技巧性强，这是难点所在?要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特 点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力. 5 2 2 ，证明 3 5 3 也是9的倍 1 2 4 行列式的性质 【例】：已知531, 252, 234都是9的倍数，利用行列式的性质（而不是展开） 数。 5 2 2 5 2 2 5 2 2 解答： 3 5 3 2 D +10 +10「2 3 5 3 1 r3 9 3 5 3 1 2 4 531 252 234 58 27 26 解答：设原行列式为。盼二「则新的行列式为 解答：设原行列式为 。盼二「则新的行列式为 , 02 -。3 detB = Otn^-Otn 日P丿 det Bn det B n 特殊行列式 1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式 a11a a11 a22 a11 311 曰1 III 曰1 a11 322 = 322 III 3i1 ■1 1 - 311 3l1 1 I I 3nn - 3nn n :11 aii i 土 2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式 anl31n3 anl 31n 31n a11 1 | | a1n 31 n 32,n 丄 = 32,n 丄 32,n ? = 321 III还小丄 3n 1 1 1 1 3n,n 丄 3nn ? ? 3n1 二 一1 ai 3、分块三角行列式 形式简记为:bSB—kn 形式简记为: bSB —kn A B 1 1 III 1 1 1 Xi 2 Xi III n/ Xi Xi X2 III Xn」 Xn 1 X2 2 X2 III nd X2 f (Xi,X2,川,Xn )= 2 Xi 2 X2 HI 2 Xn」 2 Xn = + 1 I- ■ F h F F + + + 2 4 ■ 4 4 1 Xn」 2 紀 III n A Xn_. n A. Xi n A. X2 III n A Xn」 n」 Xn 1 Xn 2 Xn III nd Xn f (Xi,X2川 |,Xn 戶 n (Xi —Xj ) 4、范德蒙德行列式 n _i j ,1 「T〔l Mnd-Xj X3 - Xj ][| ：；：X2 - Xj 2」1 1」_1 f Xi,X2 f Xi,X2, MX = 「 Xn -Xj nq亘 n _2 _j 1 h[Xn-Xn 二 X. - X. 丨||人-X2 -为 Xnd-Xn^ 人」-Xn： W Xn」-X2 X.」-为 III X3 - X2 X3 - X1 X2 -X1 认识范德蒙德行列式 可以将n阶范德蒙德行列式看成式关于 n个变量x-i , x2|, Xn的函数，即Dn = f x1,x2^| ,Xn。此种类型 行列式具有如下三个特点： ③从列的角度看：第j列元素从上到下依次为同一个变量 Xj的零次幕、1次幕、…、n— 1次幕，j=1,2川I,n ； 从行的角度看：第i行元素是从左往右依次为 冷，《，川，Xn的i — 1次幕，i=1,2,川，n 、 1 从结果看：f捲必,川风 =： Xj -旳 是关于变量x-i, x2|,xn的n n-1次齐次函数；而且该 n^j 亘 2 1 齐次函数可以分解为 门一1个一次因式 xi -Xj之积，其中n 一 i ? j -1,即脚标大者与脚标小者之差。 （说明：i可以取值为1,2,|||, n，例当i取值为4时，j只可以取值为3、2、1,即区间lj -1,1中的每一个 整数） 当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。 参见“范德蒙德行列式专辑” 认识余子式（Mi nor ）和代数余子式（Algebraic Min or ）,及其之间的关系 det? ）的（i, j ）元ay的