北师版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(学生版)——方庄陈帅.pdfVIP

函数的奇偶性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解函数的奇偶性及其图像特征； 2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征； 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数 f x 的图像关于 y 轴对称 f x 为偶函数； 函数 f x 的图像关于原点轴对称 f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，则称 f x 为偶函 数；如果都有 f -x - f x ，则称 f x 为奇函数； 如果 f ( x) f (x) 与 f -x - f x 同时成 立，那么函数 f x 既是奇函数又是偶函数；如果 f ( x ) f (x) 与 f -x - f x 都不能成立，那 么函数 f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 如果函数 f x 是奇函数或偶函数，则称函数 y f (x ) 具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是： 函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。 换言之， 若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。 2、用函数奇偶性的定义判断 函数是否具有奇偶性的一般步骤： （1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判 定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步； （2 ）判断 f x f x 与 f x f x 这 两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、 函数具有奇偶性的几个结论 1、 y f x 是偶函数 y f x 的图像关于 y 轴对称； y f x 是奇函数 y f x 的图像关于原点对称。 2 、奇函数 f x 在 x 0 有定义，必有 f 0 0 。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反； 奇函数在定义域内关于原点对称 1 的两个区间上单调性相同。 4、 f x , g x 是定义域为 D , D 且 D I D 要关于原点对称，那么就有以下结论： 1 2 1 2 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。 n n 1 6、多项整式函数 P(x) a x a x L a 的奇偶性 n n 1 0 多项式函数 P( x) 是奇函数 P(x ) 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数 P( x) 是偶函数 P(x ) 的奇次项的系数全为零。 类型一 函数奇偶性的判断 例 1：判断下列函数是否具有奇偶性： 4 2 1 (1) f ( x ) ＝2x ＋3x ； (2) f ( x ) ＝ ＋x ；