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导数与函数的零点问题考点与题型归纳考点一判断函数零点的个数典例设函数讨论函数零点的个数解由题设令得设则当时函数有两个零点当时函数有两个零点当时在上单调递增当时在上单调递减所以是的极大值点也是的最大值点所以的最大值为由结合的图象如图可知当时函数无零点当时函数有且只有一个零点当时函数有两个零点当时函数有且只有一个零点综上所述当时函数无零点当或时函数有且只有一个零点题组训练已知函数则当则当时在上为增函数当时在上为减函数解因为所以所以当时单调递增当时单调递减所以因为当时当时所以方程只有一个解设求证当时恒
导数与函数的零点问题考点与题型归纳
考点一 判断函数零点的个数
mx
［典例］ 设函数 f(x)＝ln x＋ x ， m∈ R.讨论函数 g(x)＝f′(x)－3零点的个数． x3
x1mx
［解］ 由题设， g(x)＝f′(x)－3＝x－x2－ 3(x0)，
13
令 g(x)＝0，得 m＝－ 3x3＋x(x0)．
1
设 φ(x)＝－ 3x3 ＋x( x 0)，
则 φ′(x)＝－x当 0 m 3时，函数 g(x)有两个零点．＋1
当 0 m 3时，函数 g(x)有两个零点．
当 x∈(0,1)时， φ′(x)0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当 x∈(1，＋∞)时， φ′(x)0，φ
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