最值问题(垂线段与辅助圆).docxVIP

PAGE PAGE # / 9 垂线段最短与辅助圆 三大模型： 垂线段最短：如图，直线 BC与直线外一点 A,点A到直线BC的距离AD最短 A * 3 例：如图，在平面直角坐标系中，点 P的坐标为（0,4），直线y=_x_3与x轴、y轴分 4 别交于A、B,点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 5^ 。 V 如图，已知？OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线 OB长的最小值为 . / IC 0 \ X ■ =1 . A =4 【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质. 【分析】当B在x轴上时，对角线OB长的最小，由题意得出/ ADO= / CEB=90 ° OD=1 , OE=4，由平行四边形的性质得出 OA // BC, OA=BC，得出/ AOD= / CBE，由AAS证明 △ AOD CBE，得出 OD=BE=1，即可得出结果. 【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=1与x轴交于点D , 直线x=4与x轴交于点E, 根据题意得：/ ADO= / CEB=90 ° OD=1 , OE=4 , ???四边形ABCD是平行四边形， ???OA // BC , OA=BC , ???/ AOD= / CBE, 在厶AOD和△ CBE中， fZA0D=ZCBE Zado^Zceb ， OA-BC △ AOD ◎△ CBE (AAS ), OD=BE=1 , OB=OE+BE=5 ； 故答案为：5. 2 7 2 方法二：?■: -Ill ■ l:: OH=5,当BH最小也就是等于 0时OB最小=5 辅助圆1:直角三角形构造以斜边为直径的外接圆 2?例：如图，RtA ABC 中，AB 丄 BC , AB=6 , BC=4 , P 是厶ABC内部的一个动点，且满足/ PAB= / PBC,则 线段CP长的最小值为（ B ） A ?: B ? 2 C 答案: 2【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理. 【分析】首先证明点P在以AB为直径的O O上，连接OC与O O交于点P,此时PC最小, 利用勾股定理求出 OC即可解决问题. 【解答】解：???/ ABC=90 ° ???/ ABP+ / PBC=90 ° PAB= / PBC, ???/ BAP+ / ABP=90 ° ???/ APB=90 ° ???点P在以AB为直径的O O上，连接 OC交O O于点P,此时PC最小， 在 RTA BCO 中，???/ OBC=90 ° BC=4 , OB=3 , ??? PC=OC=OP=5 - 3=2. ? PC最小值为2. 故选B . BC=8，点 BC=8，点F在边AC上，并且 CF=2，点E 为边BC上的动点，将△ CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最 小值是 小值是 答案： 3如图，在 Rt△ ABC中，/ C=90 ° AC=6 , BC=8，点F在边AC上，并且 CF=2，点E为 边BC上的动点，将△ CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小 值是 1.2 .（构造以F为圆心，FC为半径的圆，再过点 F作AB的垂线段） 【考点】翻折变换（折叠问题） 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】如图，延长 FP交AB于M,当FP丄AB时，点P到AB的距离最小，利用 AF △ AFM ABC，得到；=：.求出FM即可解决问题. 【解答】解：如图，延长 FP交AB于M，当FP丄AB时，点P到AB的距离最小. ???/ A= / ???/ A= / A，/ AMF= / C=90 ° ???△ AFM s\ ABC , ? ? = AB BC‘ ?/ CF=2 , AC=6 , BC=8 , AF=4 , .罷 w；=10, .4 _FH = , 10 8 FM=3.2 , ?/ PF=CF=2 , PM=1.2 ???点P到边AB距离的最小值是1.2. 故答案为1.2. 【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理?垂线段最短 等知识，解题的关键是正确找到点 P位置，属于中考常考题型. 相关练习： PFL CA则线1 ?如图，直角三角形 ABC中，AC= , BC=2, P为斜边AB上一动点. PFL CA则线 段EF长的最小值为 . 2.如图，菱形ABCD中，AB=2, / A=120 °点P, Q, K分别为线段 BC, A DCD , BD上的任意一点，贝U PK+QK的最小值为 A D 3.如图所示，已知点N( 1, 0),直线y=-x+2与两坐标轴分别交于A, B两点, M , P分别是线段OB, AB上的动点，贝U PM+MN的最小值是 . 4. （ 3分）（2015?咸