对于细菌繁殖的数学建模.docx

. 关于大草履虫的种群数量增长研究 在放有 10ml 培养液的 培养瓶中放入 10 只大草履虫，然后每隔一 天统计一次大草履虫的数量。其种群增长表格和曲线如下： 培养时 间（ h） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 大草履 虫（个） 10 18 29 47 71 119 175 257 351 441 513 560 595 629 641 651 656 660 662 模型的建立 1，繁殖 i 代后细菌的数量为 Ni ，繁殖 i 1 根据假设可知， N0 1，增长率 r 代后细菌的数量为 Ni 1 ，则有 Ni 1 (1 r ) N i （ 1） 模型的求解 代入以上数据根据等差数列公式即可解得： Ni 2i （ 2） 当 t 72h 时， t 72 60 i 216 t 20 代入（ 2）即可得， 72h 细菌的数量： N216 2216 繁殖 n 代后细菌数量为 2n 个。 由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“ s”型曲线。 5.2.1. 模型的建立 由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“ s”型曲线。 ;. . 令 R r 1，由前两问可得，种群数量与时间成等比数列的形式增长，离散 Malthus 差分方程如下 Ni 1 RNi （ 3） 以此我们得到第一模型的指数函数图象与题目中数据描点： 图 1 指数增长模拟图 由图象分析可知， 在一定空间内， 由于环境阻力， 细菌数量的增长会趋于稳定，而不是呈现“ J”型指数增长，因此，以上模型存在很大的误差，即单纯地 用 Malthus 模型对本题进行分析存在一定的局限性。 对此，进行如下分析与修正：早期细菌增长规律： R=1，种群数量保持稳定；0R1种群数量下降；R=0，此时没有繁殖，种群在这一代中灭亡。 对于 R1,因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应，说明在模型（ 3）中引入密度制约的效应，即在净增长率 R 中考虑种间竞争的影响，下面几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格推到过程。由题目数据分析、查阅资料，可知酵母菌每小时内繁殖一次，建立起时间与种群数量的关系式： ;. . 图 2 比率 Nt 与 Nt 的函数关系 Nt 1 在图 2 中给出了比率 Nt 与 Nt 的函数关系。图 5-2-1 中的点 A 所表示生物 Nt 1 意义可以这样理解： 当种群数量非常小的时候， 种群之间的相互竞争非常小甚至 没有，此时净增长率 R 不需要任何的修改。因此，模型 Nt 1 RNt ，当种群数量 非常小的时，关系仍然成立。重新改写成该方程得到 Nt 1 N t 1 R (4) 然而，随着种群数量的增加，种群之间的竞争越来越强，这使得精确的净增长率被这种竞争而修正，并且一定存在一点使得竞争强到种群的数量不再增长， 此时即有 Nt 充分接近 1。设此时的种群数量达到种群的环境容纳量 K ，即为 Nt 1 图2中的点 B。 由图 2 知，当种群数量从 A 点到 B 点时，比值 Nt 也有一定的增加。为了 Nt 1 简单起见，我们直接假设比值Nt 与 Nt 具有如图 2 中的直线关系，该直线的方 Nt 1 程式为 Nt aNt b （ 5） Nt 1 5.2.2 模型的求解 本题以酵母菌为例，由题目中酵母菌数量变化表，对数据进行分析，先取前 17 组数据，分别求出 Nt 与 Nt Nt 1 ，处理后可得到如下表格： ;. . 表 2 酵母菌增长情况 观察到的酵母菌生物量 生物量的变化 以小时计的时间 Nt t Nt Nt 1 0 10 0.556 1 18 0.621 2 29 0.617 3 47 0.662 4 71 0.597 5 119 0.680 6 175 0.681 7 257 0.732 8 351 0.796 9 441 0.860 10 513 0.916 11 560 0.941 12 595 0.946 13 629 0.981 14 641 0.985 15 651 0.992 16 656 0.994 17 660 \ n 根据最小二乘法的拟合原理， 取 a、b 为使得函数 E a,b ( f N t xt ) 2 值 t 1 最小时的值。其中令 xt 是 n t 时 Nt 的数值。 N t 1 用 matlab 进行线性拟合 ;. . 图