带参数的二次函数.docVIP

(2011?大庆)已知二次函数y＝ax2－bx＋b(a＞0，b＞0)图象顶点的纵坐标不大于－ EQ \F( b ,2)． (1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围； (2)若该二次函数图象与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值． 解：（1）由于y=ax2-bx+b（a＞0，b＞0）图象的顶点的纵坐标为， 则≤-，得≥3，-≤-3， ∴该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是x≤-3； （2）设A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2） 则方程ax2-bx+b=0的两根， 得x1=，x2=， 从而AB=|x2-x1|= = = 由（1）知≥6． 由于当≥6时，随着的增大，也随着增大， 所以=6时，线段AB长度的最小值为=2． (2010．十堰) 已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2 （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根. （2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与 （3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围. 解：（1）分两种情况讨论： ①当m=0?时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根 ②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式 △=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0 不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根 综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2 （2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与 则有x1+x2=，x1·x2= 由| x1－x2|====， 由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2 ∴m=1或m= ∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－ EQ \F(8,3) 即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示. （3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围. ，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－ EQ \F(9,4) ； 同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－ EQ \F(23,12) . 观察函数图象可知当b－ EQ \F(9,4) 或b－ EQ \F(23,12) 时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点. 由 当y1=y2时，有x=2或x=1 当x=1时，y=－1 所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2， 综上所述可知：当b－ EQ \F(9,4) 或b－ EQ \F(23,12) 或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点. （2010泸洲）已二次函数及一次函数. (l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标； (2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值： (3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围． 解：（1）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为 (2)①当直线位于时，此时过点, ∴，即。 ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点。 ∴方程有一根， ∴，即 当时，满足， 由①②知，或。 （3）∵ ∵当时，函数的图象与x轴有两个不同交点， ∴应同时满足下列三方面的条件： ①方程的判别式△=， ②抛物线的对称轴满足， ③当时，函数值，当时，函数值 即，解得。 ∴当时，函数图象（）的图象与轴有两个不同公共点． 已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围． 解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx ∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx ……………………………3分 （2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2 …………………………4分 由得 ……………………………………5分 ① ∵△＝ ∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ∴两函数有两个不同的交点． ………………………………………6分 （3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ∴ ∴＝ 或由求根公式得出 ………………………………………………………8分 ∵ab0，a+b=2 ∴2a1 令函数 ∵在1a2时