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第二章 习题 2
?
1、设 X 为取非负整数值的随机变量，证明 E ? X ?=?P ?X ? k ?
k ?1
证明：
E(
X
)
?
? ?kp(x
?
k )
?
? ?k ( p( X
?
k )
?
p(
x
? k ?1))
k ?1
k ?1
?
?kp(x ? k ) ? ?(k ?1)p(x ? k ?1) ? ? p(x ? k ?1)?
k ?1
k ?1
k ?1
?
?
? p(k ?1) ? ? p(x ? k ?1) ? ? p(x ? k )
k ?1
k ?1
?e ? x , x ? 0
? e aX ?a ? 0? 的数学期望。
2、设随机变量 X 的概率密度为 f ?x? ? ?
，求Y
?0, x
? 0
答：
E(Y ) ? E(eax ) ? ????? eax f (x)dx ? ?0?? eaxe?x dx ? ?0?? ex(a?1) dx
?
1
?0?? de(a?1) x ?
1
a ?1
1? a
?6 xy 2 , 0 ? x ? 1, 0 ? y ?1
3、设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为 f ?x , y ? ?
，
?
0, 其他
?
求（X,Y）的协方差矩阵。
答：
边缘概率密度为：
f
x
?
??
f
?
x , y dy ?
1 6xy 2 dy ? ?2 x, 0 ? x ?1
X ?
?
???
?
?0
?
?0, 其它
Y
?
?
??
?
?
1
?3 y 2 , 0 ? y ?1
f
?
?
?
?
?
y
f
x , y dx
?
0, 其它
?
因为 f ?x, y ? ? f ?x ? f ? y?所以 X,Y 独立。故 cov ?X , Y ? ? cov ?Y , X ? ? 0
E
X
?
?
?? xf
?
x dx ?
1 2x 2 dx ?
2
E
X
2
?
?
1 2x 3 dx ?
1
?
???
?
?0
3
?
?0
2
E ?Y ? ? ????? yf ? y ?dy ? ?01 3y 3 dy ?
3
E ?Y 2 ? ? ?01 3y 4 dy ?
3
5
4
cov
X , X
?
? E
X 2
?
?
E
X
??
2 ?
1
c o vY Y, ? E
Y 2
?
?
E
Y
??
2
?
3
18
80
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
0
?
? cov
X , X
cov
X , Y
?
?
?
18
故（X,Y）的协方差矩阵为 ?
?
?
? ?
3
?
? cov ?Y , X ?
cov ?Y , Y ?
?
?
0
?
?
?
?
80 ?
4、已知二维随机变量（X,Y）服从联合正态分布，且
E ?X ? ? E ?Y ? ? 0, D ?X ? ? 1, D ? Y ? ? 4, ? ?X , Y ? ?
1
.
2
（1）写出（X,Y）的联合密度函数。
（2）已知 Z =aX ?Y 与 Y 独立，求 a
答：
（1）? ? ?
? 0, ?
2
? 1, ?
2
? 4, ? ?
1
。将各参数代入二维正态分布密度函数，
2
1
2
1
2
最终得： f ?x , y ? ?
1
?
2
? 2
1
1
2
??
exp ? ?
x
?
xy
?
y
?
2 3?
?
3
?
2
4
??
cov
X , Y
?
1
（2） ?XY
?
?
?
? cov ?X , Y ? ?1
var ?x ?
var ?Y ?
2
cov ?X , Y ? ? E ?XY ?? E ?X ?E ? Y ?? E ?XY ? ?1
Z 与 X 独立时，有 E ?ZY ? ? E ?Z ?E ? Y ?
E ?Z ? ? aE ?X ?? E ? Y ? ? 0, E ? Y ? ? 0
E ?ZY ? ? E ? a ?XY ?? Y 2 ? ? aE ?XY ?? E ?Y 2 ?
? ?
? aE ?XY ?? E ? Y 2 ? ? a ? 4 ? 0 ? a ? ?4
5、设 X 服从正态分布 N ?? , ? 2 ?,Y ? eX ，求 Y 的概率密度函数。
答：
?
?
?
?
?
?
?
X ?
?
?
? P
X ? ln y
F
Y
? P Y ? y
? P e X ? y
? F
ln y
当 y ? 0 时， f Y ? y ? ? F ? ? y ? ?
1
f X ? y ? ?
1
?
?ln y ?u ?2
e
；
y
2??
y
当 y ? 0 时， f Y ? y ? ? 0 。
6、设 X 和 Y 是相互独立的 Poisson 随机变量，其参数分别是
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