随机信号课后习题答案2.docxVIP

2.1随机过程X(t^ Acos -t Bs in .t，其中??为常数，A、B是两个相互独立的 高斯变量，并且E[A]二E[B]=O, E[A2] =E[B2] =：;2。求X(t)的数学期望和自相 关函数。 解: E[X (t)]二 E[ Acos t Bsin t]二 E[ Acos t] E[ Bsin t] =E[A]cos t E[B]sin t -0 ( E[A] = E[B] =0) RX(t1,t2^E[X(t1)X(t2)^E[(Acos t| Bsin t|)(Acos t2 Bsin t2)] 2 2 =E[A cos ticos t2 ABcos bsin 屯 ABsin ticos t2 B sin bsin 龙] 2 2 =E[A ]cos t1cos t2 E[A]E[B]cos t1 sin t2 E[A]E[B]sin ￡ cos t2 E[B ]sin t1 sin t2 -E[A2]cos t1cos t2 E[B2]sin t1 sin t2 ( E[X2] =D[X] (E[X])2) 2 二 cos ■ (t2 -t1) 2 - cos ( ) G 二t2 -b) 2.2若随机过程X(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。 证： 2 由均方连续的定义lim°E[X(t ：t)-X(t) ] =0, 展开左式为： 吧0北2北 ⑴-XXPX? X2⑴] =^{E[ X(t + N)(( X(t + N) - X(t))] - E[X(t)(( X(t + N) - X(t))] = 0 固有iimE[X(r ：t)HE[X(t)^o，证得数学期望连续。 2.3证明随机过程存在均方导数的充分条件是: 自相关函数在他的自变量相等时 存在二阶偏导数 沖(筛2) ;:tv:t2 证: :R(t1, t?) RX (t1 「：t1, t： ) - R(t1 ,t2 ) E[X(t1 * ：t1)X(t2)]-E[X(t1)X(t2)] 2 2 E[X(ti rtJXt) -X(ti)X(t2)] E[X(t2){X(h ：ti)-X(ti)}] ，R(ti,t2)_ |im E[X(t2 ：t2){X(ti ：ti)-X(ti)}] -E[X(t2){X(ti ：ti)-X(ti)}] ft.： t2 匚—12 7 t| 二 t2 E[{X(t2 ?—XSMti XS]在 t^t2 时存在, .■■：tV：t2 也就是 lim E[{ X(t ： —X(t)}2]存在 2.4判断随机过程X(t)二Acosjt -①)是否平稳？其中 ??为常数，A、①分别为 均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 0 ：：「：： 2 二; fA(a)二 a2 a 一2 2 2 e 2二 a 0 cr 2兀 1 解：E[cos( t ①)]=cos( t ①)一d =0 0 2兀 E[X(t)H E[Acos( t ①)]二 E[A]E[cos(，t ①)]=0 2 1 2 RX (t,t 宀)二 E[ A2cos( t ①)cos{ (t 宀)①}] E[ A2]E[cos(2 t 2①) cos ■] 2 1 2 2 — = 2E[A2]cos 与时间的起点无关，且 E[X2(t)]::- 因此，是广义平稳的随机过程。 2.5证明由不相关的两个任意分布的随机变量 A、B构成的随机过程 X(t)二 Acos 0t Bsin 0t 是宽平稳而不一定是严平稳的。其中? yt为常数，A、B的数学期望为零，方差匚2 相同。 证：E[X(t)HE[Alcos 0t E[B]sin 0t =0 (t,t ) = E[(Acos 0t Bsin 0t)(Acos 0(t ) Bsin 0(t )] 2 2 =E[A cos 0tcos 0(t ) ABcos 0tsin 0(t ) ABsin 0tcos 0(t ) B sin 0tsin 0(t )] 二 E[A ]cos，0tcos，0(t .) E[A]E[B]cos，0tsin，0(t .) E[ A]E[B]sin，0tcos，0(t .) E[B2]sin，0tsin，0(t )2 2 二 E[A ]cos，0tcos，0(t .) E[B ]sin，0tsin，0(t .) (E[X2] =D[X] (E[X])2 ) 2 cos；? o E[X2(t)]::: 因此，是广义平稳的随机过程。 Rx魚龙也)=E[(Acos oti Bsin oti)(Acos ot2 Bsin ot2)(Acos 说3 Bsin 谥3)] 二 E[( A2 cos 0t1 cos 0t2 AB cos - 0t1 si n 0t2 ABsi nJ cos 0t2