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第十章 随机过程的基本概念 1利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程 X(t)的X cost ,出现正面，一：：：::仁：二.出现正面与反面的概率相等。求: 、2t, X(t)的 1 1 维分布函数 F(x,—)和F(x,，)，X(t)的二维分布函数 F(X1,X2； —,1)。 2 2 解：以随机变量Y记抛掷硬币的试验结果，则 解：以随机变量 Y记抛掷硬币的试验结果，则 丫二-1,出现正面, [1,出现反面. 且 P(Y=1) =1(1 且 P(Y=1) = 1 (1)、当匕时， 1 P (Y …1)?- 応 1 1 若 丫 =1,则 X(—)= cos(—)=0 ；若 Y 二「1，则 X(—) =2?(—)=1。 2 2 2 亍是 1 1 1 1 Fx(x,_) =P{X(_)空 x} =P{X(_) Ex|Y =1}P{Y =1} P{X(—)空 x|Y = -1}P{Y = —1} 2 2 2 2 (2 )、0,1,当t =1时,F(xi, X (2 )、 0, 1, 当t =1时, F(xi, X2； x 0, 0, 1 0 乞x：：：1, 类似可得 Fx(x—) = P{X(1) ^x} , I2 1, -仁 x :： 2, 1 _x. 1 1 若 丫 =1，则 X(—)二 cos(二)=-1 ；若 Y =「1，则 X(—) =2?(1) = 2。 2 2 x ■■■■ 0, - x2 ：：：, 捲 _ 0, x2 -1, 0,-1 2 1 2 1 % 1,-1 一 x2 2, 片 1,x2 - 2. 2, ??. 2, ??. 2 ,32 (将a代入即得)，而 2 2 P{X([) =P{A=1} =3’ p{xq「.2} = p{A=2}E, 2、设随机过程是 X(t)二Acost,t，R。 A随机变量，概率分布列为 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 (2)、二维分布函数 F(X1,X2；0,兰)。 3 求；(1)、一维分布函数 F(x,王)和F(x,兀); 4 2 二 二 一 2 解：(1)因为X(—) =Acos A，可取值为 4 4 2 P{X(睿)=学} = P{A=3}=1 . 所以F(qo, x ：： -^,1 、2, X 八 2,3 22, 2 P{X(睿)=学} = P{A=3}=1 . 所以 F(q o, x ：： -^, 1 、2 , X 八 2, 3 2 2, 2 3 1, 3、. 2 x ::: 2 32 x . 2 因为 X (—)= A 2 c”只能取0值,故 F(x，2) 0‘‘ x ：： 0, x _0. (2)、因为，由 A FEN寸PESO亠Ac。宁小Pgx,厂小 十{A%A 空 2X2}= PSg 2x2 f{AE2x2} 2x2 ex- JT JT 所以 F(Xi,X2；0,-)= 0, 1 3 2 3 Xi 1, 、 1 % _ 2x2, % : 1或 2x2 ： x-! ,x2 , 2 、 1 -2x2,1 一 x ■■■ 2或2x2 ：为, x2 : 1, 2 -2x2,2 - x ： 3或2x2 人，1 _ x2 ?, 2 疋 _ 2x2,为 _ 3或2x2 捲，X2 _ 3. 2 3、设随机过程X(t) = A ? Bt,t 一0，其中A与B是相互独立的随机变量，均服从标准正态 分布。求 X(t)的一维和二维分布。 解： 因为对任意固定的t?T,X(t)是正态随机变量，故 E[X(t)] =E(A) E(B)t =O,D[X(t)] =D(A) D(B)t2 =1 t2. 所以，X(t)服从正态分布N(0,1，t2)，从而也是随机过程 X(t)的一维分布。 其次，对任意固定的t1,t^ T,X(tJ =A - Bt1,X(t2)=A - Bt2，则依n维正态随机向 量的性质，(X(tJ,X(t2))服从二维正态分布，且 E[X(t1)] =0,E[X(t2)] =0,D[X(t1)] =1 廿亠以⑹]=1 t；, Cov[X(t1),X(t2)] =E[X(t1)]E[X(t2)] =1 応. 所以，二维分布是数学期望向量为( 0, 0)，协方差矩阵为|1十匕1+t￡ I的二维正态分 ]1+址2 1+t； 一 布。 4、 设随机过程 X(t) =X COS，，t( - ：： ::: t --)，其中，为常数，X是服从标准正态分布的 随机变量。求 X(t)的一维分布函数和协方差函数。 解： E[X(t)]二 E(X)cos t =O,D[X(t)]二 D(X)(cos，t)2 =(cos，t)2. 故｛X(t),t T｝的一维分布函数为 N(0,(cos t)2)。 协方差函数是随机过程｛X(t),r T｝在任意两个时刻t1和t2的状态X(t1