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PAGE PAGE # 第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 随机变量X的数学期望E(X) 对离散随机变量 E(X)=：Z p(x) i 若i =1,2川|，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 对连续随机变量 E(X)二： xf(x)dx 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]，其中g(X)为实函数。 对离散随机变量 E[g(X)]=7 g(Xi)p(Xj) i 对连续随机变量 E[g(X)] = ：=g(x)f(x)dx 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)为二元 实函数。 对离散随机变量 E[g(X,Y)]二二 g(X,yj)p(Xi,yj) i j 对连续随机变量 E[g(X,Y)]二 g(x, y)f (x, y)dxdy 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 数学期望的性质(假定所涉及的数学期望都存在) E(c) =c, (c为常数) E(cX) =cE(X), (c 为常数) E(aX b) =aE(X) b, (a,b 为常数) E(X Y) =E(X) E(Y) n n cXJ 八 CiE(Xi) i 4 y 若 X,Y 相互独立，则 E(XY)二 E(X)E(Y)。 若 XjXz’lll’Xn相互独立，则 E(X1XJHXn^E(X1)E(X2^|E(Xn) 0 随机变量X的方差D( X)二E{ [X E( X) } E X- ) E2，X这)里假定 E( X) ,E (X都存在。 方差的性质 D(c) =0, (c 为常数) D(cX) =c2D(X), (c为常数) D(aX b)=a2D(X), (a,b 为常数) 若X,Y相互独立，则D(X Y^D(X) D(Y)。 n n 若 Xi,X2,lH,Xn相互独立，G,C2,lH,cn为常数，则 cXi)八 Ci2D(Xi) i二 i』 随机变量X的k阶原点矩 u(X)=E(Xk) 随机变量X的k阶中心矩 ％(X)二E{[X -E(X)]k} 易知，MX)二 E(X),?\(X )三 0』2(X)二D(X)。 随机变量X与Y的协方差 cov(X,Y)二E{[X -E(X)][Y-E(Y)]}二 E(XY) - E(X)E(Y) D(aX bY)二a2D(X) b2D(Y) 2abcov(X,Y), (a,b为常数) cov(X,Y)二cov(Y, X) cov(aX,bY) =abcov(X,Y), (a, b为常数) cov(X Y,Z) =cov(X,Z) cov(Y,Z) 若cov(X,Y) =0，则称X与Y不相关。若随机变量X与Y相互独立，则X与Y — 定不相关，反之不成立。 随机变量X与Y的相关系数R(X，丫)二仝吵工 VD(X)Jd(y) |R(X,Y)匡 1 丫 = a bX 二 I R(X,Y) 1 = 1 切比雪夫不等式：若随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在，则对任意正 数；有 P X —E(X) 一 ；乞 由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。后面两个定理是 常用的大数定律。 二、典型例题解析 1.已知随机变量X的概率分布为 X -2 0 1 p 0.3 0.4 0.3 求 E(4X2 6)。 分析由要点2,令g(X)=4X2飞，代入公式即可。 解 3 E(4X2 6)八(4x 6)pi i# 二 22 0.3 6 0.4 10 0.3 二 12 注计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先求出随机变量的概 率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算；一种是直接带入要点 2种所列的公式 通常用后一种方法较简便。 2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)二X yI 0其它求 E(X), E(Y), D(X), D(Y), E(XY),cov( X,Y), R(X,Y) 2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)二X y I 0 其它 求 E(X), E(Y), D(X), D(Y), E(XY),cov( X,Y), R(X,Y)。 分析 解 题中前五项计算均可按要点3所列公式计算，后两项按要点8与9计算。 E(X)二 -be -be ::；：xf (x,y)dxdy 二 1 1 7 x(x )dx = 0 2 12 1 1 0xdx 0(x