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2014“创新杯”陕西赛区数学建模校际联赛 学 校 西安交通大学 队伍编号 380 选 题 联赛 B （选题填写: A，B，C，或 D（★）其中★为夏令营题目编号） 队伍编号为网上注册时获取的编号，若无，交论文时再填写编号） 队长 杨 晶 2110502030 队员 1 万海宇 2112001124 队员 2 何 峰 2120310009 多基雷达对飞行目标的探测及攻击模型 摘要 本文针对多基雷达飞行目标的探测及攻击问题，采用微分方程方法，最小二 乘法，MATLAB 仿真，概率统计等方法，得到探测及攻击模型，控制定位精度的策 略。 针对问题一，通过分析建立方程组，把求雷达系统定位的最少雷达数量问题 转化为以最少的方程个数 n 使该方程组具有唯一解，得出多基雷达定位方程组， 并利用 MATLAB 仿真得出：1、当雷达站点不共线布置时，只需要三部雷达便可实 现定位；2、当所有雷达位于一直线上时，无论雷达是多少，均只能获得目标在 或 y 方向的坐标，不能完全定位。  x 针对问题二，根据数据建立多个距离关系方程组，得到超静定方程组，利用 最小二乘法解出三个变量。利用这个方程模型可以得到飞行物的三个坐标。由求 解的过程以及对结果的分析，给出控制雷达定位精度的建议。 针对问题三，由题意得出 I 型空对空导弹追踪乙机的轨迹图，由此得出微分 方程，求解得轨迹方程。当导弹击中敌机是，有 行的 C2 ? y乙 。因此导弹击中敌机的条件是 L ? C2  x ? x乙 ，此时 y=C2 ，则导弹飞 y乙 。结合问题二，求得敌机 被击中的时刻为 110.26s，此时的位置为（88716，35808，13092.84） 针对问题四，我们采用和问题三类似的模型进行求解，解法也类似，从而可以得出 II 型导弹轨迹方程，算出乙飞机被击中的时刻，得出乙飞机被击毁需要 满足的条件  L  ?  C2?  。 在本文最后，笔者针对每个问题对其结果进行了分析、对每个问题解决方法 的优缺点进行了分析，并提出了相应的改进方案。 关键字：基于多基雷达的探测模型 微分方程模型 最小二乘法 1 一．问题重述 1.1 问题背景 在电子对抗领域，对辐射源位置信息侦察越精确，就越有助于对辐射源进行 有效的战场情报信息获取和电子干扰，并为最终摧毁目标提供有力的保障。 在我防空指挥部的上空发现有一可疑的飞行物，需要对其进行精确定位。常 用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。每个雷达都可以测量自身的坐标 (x i ,  y i ,  i  )  以及它到飞行物距离  ri  (i  1,2, , n)  ，其中  n  为雷达的总数。通过一组雷 达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以确定目标的空间飞行物的坐 标  S  (x, y, z) 。 由于每个雷达在测量自身坐标和飞行物到各雷达的距离都存在测量误差，这 给精确定位带来了困难。如何选取合适的方法进行精确定位是目前对飞行物进行 精确定位一个难点。 现在，我防空指挥部多部雷达发现有一架来路不明的飞机乙（第二组数据）， 经分析确认是一架敌机后，即命令正处于同一高度进行巡逻的我方飞机甲（第一 组数据）发射I型空对空追踪导弹将其击毁（追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向）。假定雷达发现敌机时，该机正位于我防空指挥部正东 N 公里高空处，并欲在同一高度上向位于其正北方向 M 公里处的安全区逃窜（由于敌方电子干扰的作用,敌机一旦进入安全区后,导弹将失去追踪目标，无法将其击毁）。 1.2 目标任务 设我防空指挥部为原点坐标，坐标系采用东北天坐标（即：  x  表示东，  y  表 z 表示天）；并设距离误差服从正态分布 示北，  2 )，坐标误差服从正态分布 N(0,? t 2 )。在这些假定下建立数学模型完成以下工作： N(0,? r 1．问至少需要多少个雷达才能定位飞行物？并在所需最少雷达的条件下，分析距离误差和坐标误差对定位精度影响。 2．在实际情况中，往往需要使用更多的雷达进行飞行物的精确定位，请设计一种定位算法；并对所给三组测量数据，计算飞行物的坐标；根据计算结果，请给出控制雷达定位精度的建议。 在适当的假设下，确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件；若敌机的飞行速度V 、其位置 N 和追踪导弹速度U 均为给定的常数， 计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置，其中V = 1 马赫数，N = 100 公里,  U  = 2 马赫数。 若当时命令设在防空指挥部的地面导弹基地发射II型地对空追踪导弹截击敌机，假定敌机飞行高度不变，请确定此时II型地对空导弹追踪敌机的轨迹及击毁敌机的条件。 二、模型的假设 假设用于定位飞行物的多部雷达分布的区域都远小于地