线性空间 向量组的秩教学PPT课件.ppt

性质 向量组间的等价是一个等价关系， 设有向量组M,N,T 则 （1）自反性 （2）对称性 若 则 （3）传递性 若 则 定理 设向量组M的向量作为行向量构成的矩阵为A , A的通过行变换其阶梯形矩阵为B， 矩阵B的非零行构成的 向量组为N， 则向量组M与N等价。 定理2.2.10 如果线性无关的向量组 可以由向量组 线性表示，那么 推论2.2.11 两个线性无关的向量组如果等价，则它们含有的向量的个数相等。 定义2.2.12 给定向量组M,如果中有r 个向量构成的子集 满足 (1) 向量组 线性无关; (2) M中的任何一个向量都能由 线性表示; 则称 是向量组M的一个极大线性无关组, 简称 极大无关组. 注 (1) 极大线性无关组中无关的含义是: 这个向量组 是一个线性无关的向量组; 极大的含义是指在向量组M中 找不到一个无关组真包含它, 即从向量组M剩下的向量中 任取一个向量添加进去后新的向量组必然线性相关。 (2) 极大线性无关组与向量组M等价, 故由向量组M能 线性表示的向量必能由其极大线性无关组线性表示. 故向量组能线性表示的向量取决于其子集 极大无关组 (3) 向量组M是线性无关的 当且仅当M的极大无关组 就是其本身。 (?) 例 设 向量组 是无关的,且 故 是 的一个极大无关组 又向量组 是无关的,且 故 是 的另一个极大无关组 注 (1)向量组的极大无关组可能不止一个. (2) 但不同的极大无关组 之间有一个相同的量。 推论2.2.13 一个向量组的任意两个极大无关组的向量个数相同。 定义 2.2.14 向量组M的极大线性无关组所含的向量个数称为它的秩， 记为r(M)(或R(M))。特别地,规定零向量构成的向量组的 秩为零。 推论 2.2.15 如果向量组A能被向量组B线性表示，则 特别地，等价的向量组具有相同的秩。 注：设向量组 则 M线性无关 M线性相关 定理 向量组的秩等于它（作为行）所构成矩阵的秩。 证明: 不妨设向量组为 是其极大无关组. 构造矩阵 化成 阶梯形 由前r 行没有零行, 故 故 定理得证 （？） （向量组的秩的求法） 第2章 线性空间 2.1 线性空间与子空间 2.1.2 n维实向量空间 回忆： 一个n元有序数组称为一个n维向量. n维向量?可以用1?n的行矩阵表示为 称为（n维）行向量. 或n维向量可以用n ?1的列矩阵表示为 称为（n维）列向量。 其中第i个数 称为向量?的第i个坐标或第i个分量, 分量的个数称为向量?的维数。 注意：以后如无特殊说明，均采用列向量表示.（行向量可表示为列向量的转置） 定义： 坐标都是零的向量称为零向量, 记为 0 当向量的分量都为实数时,称该向量为实向量 当向量的分量都为复数时,称该向量为复向量 本课程只讨论实向量. 全体n维实向量的集合记为 ,即 定义：设 V 为 n 维向量的非空集合， 若 V 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称集合 V 为向量空间． 说明: 集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 注意： 0 必是向量空间V 的元素，即 例：3 维向量的全体 是一个向量空间。 n 维向量的全体 也是一个向量空间。 例： 齐次线性方程组 的解集合 是一个向量空间。 不是一个向量空间。 但非齐次线性方程组 Ax = b 的解集合 例：判别下列集合是否为向量空间. 不是向量空间。 解： 所以， 是向量空间。 2.1 线性空间与子空间 2.1.2 n维实向量空间 2.1.3 子空间 定义：设 V 为向量空间, W 是V 的非空子集， 若 W 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称 W是 V 的子空间。 注：每个向量空间V 都有两个特殊的子空间： 一个是V 本身； 另一个是零子空间 W = { 0 }。 这两个子空间称为平凡子空间。 例. 及 都是 的子空间。 是 的子空间，称为齐次 线性方程组 Ax = 0 的解空间，或 A的零空间。 例. 是否为向量空间. V 称为由向量a, b生成的向量空间。 例：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合 解： V 是一个向量空间。 2.2 向量组的秩 由若干个维数相同的列向量（或行向量）构成的 定义 向量集合称为向量组. 由m个n维向量构成的向量组可记为 或简记为 例 向量集合 是向量组， 也是向量组， 它是最大的n维实向量组。 2.2 向量组的秩 2.2.1 线性相关性 定义2.2.1 设 是n维向量组, 是一组数, 则称