已知8x^2y^2+y^4=1,求2x^2+y^2的最小值.doc

davidee 已知8x2y2+y4=1,求2x2+y2的最小值。 主要内容： 介绍用二次方程判别式法、不等式公式法、三角换元法和多元函数极值法等方法，介绍2x2+y2在已知8x2y2+y4=1条件下的最小值主要思路和步骤。 方法一：判别式法 将题目结论通过条件变形得到能使用二次方程判别式形式，进而求解所求代数式的最小值。 设2x2+y2=t，则x2=eq \f(t-y2,2) ,代入已知条件得： 8.eq \f(t-y2,2) .y2+y4=1,化简得到： 6y4-8ty2+2=0,看成的二次方程，由判别式得： (8t)2-4.2.6≥0, 8t≥2eq \r(2.6), t≥eq \f(1,4)eq \r(2.6),则本题所求的最小值为eq \f(1,2)eq \r(3)。 方法二：基本不等式法 通过变形利用两个正数的基本不等式求解最小值。此时用到的基本不等式为：对于正数a，b，有a+b≥2eq \r(ab). ∵8x2y2+y4=1， ∴(8x2+y2)y2=1,即8x2+y2=eq \f(1,y2) ,进一步得： x2 =eq \f(1,8)(eq \f(1,y2) -y2),代入所求代数式得： 2x2+y2 =2.eq \f(1,8)(eq \f(1,y2) -y2)+y2， =eq \f(1,8).(2.eq \f(1,y2) +6y2), 再利用基本不等式，得： ≥eq \f(1,4)eq \r(2.6)=eq \f(1,2)eq \r(3)，即等号值为所求最小值。 方法三：均值不等式法 通过变形利用两个正数的均值不等式求解最小值。此时用到的基本不等式为：对于正数a，b，有ab≤(eq \f(a+b,2))2。实质上是基本不等式的逆应用。 ∵8x2y2+y4=1， ∴(8x2+y2)y2=1,对括号内x2的系数进一步变形得： 4.(2x2+eq \f(1,4)y2)y2=1,两边同时乘以eq \f(3,4)得： 4.(2x2+eq \f(1,4)y2).eq \f(3,4)y2=1.eq \f(3,4),即： (2x2+ eq \f(1,4)y2).eq \f(3,4)y2=eq \f(1,4).eq \f(3,4),利用均值不等式得： (2x2+eq \f(1,4)y2).eq \f(3,4)y2≤(eq \f(2x2+eq \f(1,4)y2+ eq \f(3,4)y2,2))2=(eq \f(2x2+y2,2))2, 即： eq \f(1,4).eq \f(3,4)≤(eq \f(2x2+y2,2))2,变形不等式得： (2x2+y2)2≥4.eq \f(1,4).eq \f(3,4)，则： 2x2+y2≥2eq \r(eq \f(1,4).eq \f(3,4)) =eq \f(1,2)eq \r(3)，即等号值为所求最小值。 方法四：三角换元法 利用正弦、余弦换元x，y，根据三角函数的有界性及不等式公式等求代数式的最小值。 设8x2y2=sin2t，y4=cos2t，且t∈(0, eq \f(π,2)]。 则y2=cost，代入正弦函数条件中得： 8x2cost =sin2t，即： x2=eq \f(1,8).eq \f(sin2t,cost),将x,y代入到所求的代数式得： 2x2+y2 =2.eq \f(1,8).eq \f(sin2t,cost)+cost =2.eq \f(1,8).eq \f(1-cos2t,cost)+cost =eq \f(1,8).(eq \f(2,cost)+6.cost),再利用基本不等式得： ≥eq \f(1,8).2eq \r(eq \f(2,cost).6.cost)， =eq \f(1,4)eq \r(2.6)=eq \f(1,2)eq \r(3)，取等号值为所求最小值。 方法五：导数法 设所求最小值为t0，则2x2+y2=t0,可求出函数y对x的导数，此时的导数并与已知条件中y对x的导数相等，即可求得最小值。 由2x2+y2=t0，两边对x求导得： 4x+2yeq \f(dy,dx)=0,即：eq \f(dy,dx)= eq - \f(2x,y); 对已知条件方程两边同时求x导数得： 16xy2+8x2*2yeq \f(dy,dx)+4y3eq \f(dy,dx)=0, 此时eq \f(dy,dx)=eq - \f(8xy2, 2y3+8x2y)，两处导数相等得： eq - \f(8xy2, 2y3+8x2y)=eq - \f(2x,y)，化简该方程得: x2=eq \f(1,4).y2……（1）； 将方程（1）代入已知条件得： 8.eq \f(1,4).y2.y2+y4=1， 即y4=eq \f(1,3),进一步得y2=eq \r(eq \f(1,3