旋转的应用专题整理.docx

旋转的应用（ 1）等边三角形中的旋转（利用旋转的方法解决问题） 例 1 、已知 P 为正△ ABC 内一点． ①若∠ APB=113°，∠ APC =123°，求证：以 AP、BP、 CP 为边可以构成一个三角形． ②求证：无论 P 的位置如何，以 AP、BP、CP 为边都可以构成一个三角形． 例 2 、P 为等边三角形 ABC内部一点，且 P到三角形的三角形顶点的长分别为 3，4，5，求∠ CPB 的度 数和这个等边三角形的面积． 例 3、（1）如图，△ BCM 中，∠ BMC ＝120°，以 BC 为边向三角形外作等边△ ABC ，把△ ABM 绕着点 A 按逆时针方向旋转 60°到△ CAN 的位置 .若 BM ＝2， MC＝3. 求：①∠ AMB 的度数；②求 AM 的长 . 最小值 2）如图，△ ABC 中 BM=2 ， AM 最大， AM=5 AM 最小， AM=1 M 作业： 1．如图，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC ， （1）P 是三角形内的一点，且∠ APB =∠ APC ．求证： PB=PC． （2）若 P为正方形 ABCD 内一点， PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠ APB=135 3）在等边三角形内有一点 3）在等边三角形内有一点 P．连接 P 与各顶点的三条线段的长为 3、4、5. 求正三角形的边长 2. 已知：在五边形 ABCDE 中， AB＝AE， BC＋DE ＝CD ，∠ ABC＋∠ AED ＝ 180 求证： AD 是∠ CDE 的平分线． 3．请阅读下列材料 问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2， PB= 3 ， PC=1．求∠ BPC 度数的大小 和等边三角形 ABC 的边长． 李明同学的思路是：将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°，画出旋转后的图形（如图 2）．连接 PP′，可得 △ P′BP 是等边三角形，而△ PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证） ．所以∠ AP′B=150°，而 ∠BPC= ∠ AP′B=150°．进而求出等边△ ABC 的边长为 7 ．问题得到解决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA= 5 ， BP= 2 ，PC=1．求∠ BPC 度数的大小和正方形 ABCD 的边长． 4．如图，已知：如图，四边形 ABCD 中， 4．如图，已知：如图，四边形 ABCD 中， AD=CD ， ABC 75 ， ADC 60 ， AB＝2，BC＝ 2 ， （ 1）以线段 BD，AB，BC 作为三角形的三边， ①则这个三角形为 三角形（填：锐角三角形、直角 三角形、钝角三角形） ； ②求 BD 边所对的角的度数； （ 2）求四边形 ABCD 的面积． P P 5、如图，在四边形ABCD 中，∠ 5、如图，在四边形 ABCD 中，∠ ABC =30 C 6、（2011丰台一模）、已知 :在△ ABC中， BC=a，AC=b，以 AB为边作等边三角形 ABD. 探究下列问题 : （ 1）如图 1，当点 D与点 C位于直线 AB的两侧时， a=b=3，且∠ ACB=60°，则 CD= ； （ 2）如图 2，当点 D与点 C位于直线 AB的同侧时， a=b=6，且∠ ACB=90°，则 CD= ； （3）如图 3，当∠ ACB变化, 且点 D与点 C位于直线 AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的∠ ACB的度 数. D图1 解：（1） 3 3 ；? （2） 3 6 3 2 ； （3）以点 D 为中心，将△ D 图1 解：（1） 3 3 ；? （2） 3 6 3 2 ； （3）以点 D 为中心，将△ DBC逆时针旋转 60°，则点 ∴ CD=ED，∠ CDE=60°， AE=CB= a ， ∴△ CDE为等边三角形， ∴ CE=CD. ???????????????? 图2 图3 1 2B落在点 A， 点 C落在点 E. 联结 AE,CE， CD=CEAE+ACa=+b； 当点 B E 当点 E、A、C在一条直线上时， CD 当点 E、A、C在一条直线上时， CD 有最大值， CD=CEa=+b； 此时∠ CED=∠ BCD=∠ECD=60°，∴∠ ACB=120°，???????? 7 因此当∠ ACB=120°时， CD有最大值是 a+b. 7、（2011 房山一模）、已知：等边三角形 ABC （1） 如图 1，P 为等边△ ABC 外一点，且∠ BPC=120 ° 试猜想线段 BP、PC、 AP 之间的数量关系 ,并证明你的猜想； 图 1A 2）如图 2，P 为等边△ ABC 内一点，且∠ APD=12