清华大学2009年春概率论与数理统计期末考题.pdfVIP

清华大学本科生考试试题专用纸 考试课程：概率论与数理统计 考试时间：2009 年6 月18 日 A 姓名 学号 200 班级 . 一、填空题（20 分，每空2 分） 1. 若事件A 、B 独立，则以下命题不正确的是___________。 (A) A 与B 一定独立 (B) A 与B 一定独立 (C) AB 与AB 一定独立 2. 若随机变量X 的分布函数连续，则____________。 (A) X 一定为离散型 (B) X 一定为连续型 (C) 以上选项都不对 3. 如果随机变量X 的期望存在，P X 2 0.3 ，P X 4 0.4 ，则_________。 (A) EX E X (B) EX E X (C) EX E X (D) 条件不足无法判断 4. x ,x ,L,x n 1是来自正态总体N m,s 2 的简单随机样本， 1 2 n x1 x2 Lxn 1 n 2 x ，s x k x 。则下列关系正确的是____________。 n n 1 k 1 (A) E s s (B) E s s (C) E s s (D) 不确定 5. 随机变量X 服从几何分布Ge0.25 ，则E X X 4 _______________。 6. 二维随机变量X , Y ~ N 0, 0, 1,1/ 4,1/3 ，设U X 2Y 和V X 2Y ，则U, V _________ (填“独立”或“不独立”)，E U 2 V 0 _________________。 X 7. 设随机变量X ~ N 0,1 ，则随机变量Y 的概率密度函数p Y y __________________。 2 8. x ,x ,L,x 是来自正态总体N m,4 的简单随机样本， 是样本均值。对假设检验问题 x 1 2 25 H 0 : m 3 VS H 1 : m 3 。若取拒绝域为x 2.487 ，则检验的显著性水平为____________， 当m 1.91 时，该检验犯第二类错误 （受伪）的概率 ______________。 二、（14 分）盒中共有5 个乒乓球，都是新球，每场比赛从中任 1 个使用，比赛后仍放回盒中。 1. 求第3 场比赛用球在前两场比赛都未使用过的概率； 2. 如果已知第3 场比赛用球在前两场比赛都未使用过，求第3 场比赛前盒中恰有4 个球尚未使用 过的概率。 三、（24 分）设X 、Y 独立同分布，都服从期望为 1 的指数分布。令U max X , Y ， V min X , Y 。 1. 求U, V 的联合概率密度函数； 2. 求U、V 的期望和相关系数； 3. 证明： 和 相互独立。 U V V - 1 - 四、（18 分）设X 1 , X 2 ,L, X 2 n 相互独立，且均服从均匀分布U0,1 ，定义随机变量 4, X 2 X 2 1 Y 2k 1 2k ，k 1,2,L, n 。 k 0, 其他 Y Y L Y 1. 对于任意给定的正整数n ，证明随机变量Y 1 2 n 是期望等于p ； n