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2003—2008《工程与科学计算》历届试题类型 1.直解法 例1.用列主元素Gauss消去解下列线性方程组(结果保留 5位小数) 0.7290X, 0.8100X2 0.9000x3 0.6867 0.83381.00001.0000% 1.0000x2 1.0000x3 0.8338 1.0000 1.3310% 1.2100x2 1.1000x3 例2.设线性方程组Ax b,其中A 求Cond (A),并分析线性方程组是否病态 2.迭代法 例1. 设线性方程组 Ax b为 2 2 x1 1 1 1 x2 2 ， 0 2 2 X3 2 写出求解线性方程组的 Jacobi迭代格式， 并确定当 取何值时Jacobi迭代格式收敛. 例2. 写出求解线性方程组 Ax b的Seidel迭代格式，并判断所写格式的收敛性，其中 Ax b为 3为 2X3 6 2x2 X3 8 2x1 X2 2X3 5 3.插值 TOC \o 1-5 \h \z 例 1.已知.100 10, 121 11, . 144 12, 试用二次插值多项式计算 .115的近似值(数据保留至小数点后第 5 位) 估计所得结果的截断误差(数据保留至小数点后第 5位) 例2.由下列插值条件 X 1 2 4 6 7 f (X) 4 1 0 1 1 求4次Newton插值多项式，并写出插值余项. 4. Runge—Kutta 格式 例 写出标准Runge Kutta方法解初值问题 y xy 2y2 sinx y xy 2y2 sinx y(0) 1,y(0) 1 的计算格式 5?代数精度 例1.数值求积公式形如 1 oxf(x)dx S(x) Aof (0) A1 f (1) A2 f (0) A3f (1) 试确定其中参数 Ai,A2,A3,A4,使其代数精度尽量高，并确定代数精度? 例2.验证数值求积公式 :f(x)dx A)f(1 ；) Af(1) Af(1，..：) 是Gauss型求积公式. 6. Romberg 方法 1 j 例 对积分° ?.. 1 x2dx ,用Romberg方法计算积分的近似值， 误差不超过10 并将结果填 (X)的零点为节点建立(x)的n次正交多项式，以(1 )设(x)为［a,b］上关于权函数 (X)的零点为节点建立 (x)的n次正交多项式，以 (1 )设(x)为［a,b］上关于权函数 Lagrange 插值基函数｛li(x)｝， 证明: b (x)li(x)dx a 2 (x)[li(x)] dx, i 1,2, ,n a 证明：设n次正交多项式 (x)的零点为X1,X2,L Xn，则以这 n个零点为节点建立的 Lagrange插值基函数{li(x)}, i 1,2L ,n是n-1次多项式, 2 li(x)是2n-2次多项式.故 当f (x)取h(x)和 2 li(x)时Gauss型求积公式 等号成立，即n 等号成立，即 n (x)f (x)dx Akf(Xk) k 1 b n (x)li(x)dx 宀1曲)A k 1 IX x*|| 1 x*|| 证明: CondA b 则有(x)l：(x)dxAJi2(xQ A1b(x)li(x)dxab 2(x)[li(x)] dx, ia1,2,,n(2)对线性方程组Ax若A是n阶非奇异阵,0, x 则有 (x)l：(x)dx AJi2(xQ A 1 b (x)li(x)dx a b 2 (x)[li(x)] dx, i a 1,2, ,n (2)对线性方程组Ax 若A是n阶非奇异阵, 0, x 是 Ax b的精确解, Ax b的近似解。记r Ax 证明：由于x是Ax b的精确解，贝U Ax b b Ax Ax Ax A(x x) 又A是n阶非奇异阵, 则 x x A 1r A 1r A1 r，且 b Ax A1 Ab ||r|| COndA b (3)初值问题y ax b, y(0) 0有解 1 2 y(x)吉 ax bX，若 Xn nh， yn是用 Euler 格式解得的y(x)在x Xn处的近似值，证明：y(Xn) yn 卡 ahxn 证明：记 f(x, y) ax b, f(Xn,yn) fn ,且 y(0) 0, Xn nh Euler格式为 yn yn 1 hfn 1 ( yn 2 hfn : 2) hfn 1 y hf0 hf1 hfn 1 h(ax0 b) h(ax1 b) h(axn 1 b) hb ah2 hb 2ah 2 hb (n 1)ah2 hb 豊 “ah2 nhb 舟 ax； * ahx bxn y(Xn) yn 舟 ax； bXn (4ax2 bXn 号 ahXn) 今 ahxn hf(Xn」n)则有 (4)设 A yn yn 1 cnn为非奇异阵，试证：