基于MATLAB实现的数值计算方法实验-列主元消去法实现.doc

第 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 7 页 实验一 列主元消去法 目录 TOC \o 1-3 \h \z \u 实验一 列主元消去法 1 【实验内容】 3 【试验方法与步骤】 3 一、回答下面的问题 3 二、完成下列计算，写出代码 4 【实验结果】 5 一、问题回答 5 1. 什么是线性方程组直接解法和迭代解法，各自的特点和使用问题类型是什么？ 5 2. LU分解是直接解法还是迭代解法，L、U矩阵的特点是什么，应用在哪些问题中，请举例说明。 6 3. 给出一个舍入误差严重影响计算结果精度的例子，试着能否从多个角度说明产生该问题的原因。 6 4. 迭代解法的收敛性有什么意义，收敛条件用什么判定？ 7 5. 给出例子，并说明迭代收敛的速度。 8 二、MATLAB计算代码 10 1. 用crame法则、用LU分解函数、逆矩阵函数分别完成P35例3.2.1 10 2. 编写列主元消去法程序，完成P35例3.2.1和习题3第2题 13 3. 用雅克比、高斯-塞德尔和SOR迭代完成习题3第13题，进行收敛速度的比较分析 16 【实验内容】 理解高斯顺序消去法； 理解主元高斯消去法在求解精度上的优点； 完成列主元消去法的程序； 会用系统内置命令求解有唯一解的线性方程组； 【试验方法与步骤】 一、回答下面的问题 什么是线性方程组直接解法和迭代解法，各自的特点和使用问题类型是什么？ LU分解是直接解法还是迭代解法，L、U矩阵的特点是什么，应用在哪些问题中，请举例说明。 给出一个舍入误差严重影响计算结果精度的例子，试着能否从多个角度说明产生该问题的原因。 迭代解法的收敛性有什么意义，收敛条件用什么判定？ 给出例子，并说明迭代收敛的速度。 二、完成下列计算，写出代码 用crame法则、用LU分解函数、逆矩阵函数分别完成P35例3.2.1 编写列主元消去法程序，完成P35例3.2.1和习题3第2题 用雅克比、高斯-塞德尔和SOR迭代完成习题3第13题，进行收敛速度的比较分析 【实验结果】 一、问题回答 1. 什么是线性方程组直接解法和迭代解法，各自的特点和使用问题类型是什么？ 解：一、1:线性方程组的解法 解法 直接解法 迭代解法 定义 经过有限步算数运算，可求得方程组的精确解的方法 用某种极限过程逐步逼近线性方程组精确解的方法 特点 运算步骤有限、可得精确解 极限逼近思想 适用问 题类型 计算过程中没有舍入误差 向量值序列收敛于向量 即 举例 2. LU分解是直接解法还是迭代解法，L、U矩阵的特点是什么，应用在哪些问题中，请举例说明。 解：一、2：LU分解法 LU分解属于直接解法 L矩阵特点：一个对角线上的元素全为1的下三角矩阵（即单位下三角矩阵）。 U矩阵特点：上三角矩阵 应用：LU分解主要应用在 \t /_blank 数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式 举例 3. 给出一个舍入误差严重影响计算结果精度的例子，试着能否从多个角度说明产生该问题的原因。 解：一、3：舍入误差严重影响计算结果精度的例子 （教材第二页） 法1： 法2： 由于计算机只能存储有限位小数，所以在法1中，随着n的增大，其误差就会越来越大，最后很大程度的偏向精确解；但是在法2中尽管取得比较粗略，但是随着n的增大，其误差随传播逐步缩小，所以其最后计算得到的结果是可靠的。 4. 迭代解法的收敛性有什么意义，收敛条件用什么判定？ 解：一、4：迭代解法的收敛性 迭代解法 的收敛性 意义 无线逼近精确解，便于在计算机上实现编程 收敛条件的判定 向量值序列收敛于向量 即 5. 给出例子，并说明迭代收敛的速度。 解：一、5：举例说明迭代收敛的速度 分别用雅可比迭代法(J)、高斯—塞德尔迭代法(G-S)、超松弛迭代法(SOR)计算方程组 = 雅可比迭代 高斯—塞德尔迭代 次数 X1 X2 X3 误差 次数 X1 X2 X3 误差 1 2.5000 2.0000 2.5000 2.1594954 1 2.5000 2.6250 3.1563 1.4570586 2 3.0000 3.2500 3.0000 0.7635250 2 3.1563 3.5781 3.3945 0.3063667 3 3.3125 3.5000 3.3125 0.2699683 3 3.3945 3.6973 3.4243 0.0383445 4 3.3750 3.6563 3.3750 0.0954459 4 3.4243 3.7122 3.4280 0.0048229 5 3.4141 3.6875 3.4141 0.0337452 5 3.4280 3.7140 3