多面体的探讨.doc

多面體的探討 ~ ~巴克球為最接近球的多面體? 蔡卓明、陳彥齊、束旳、謝宗翰蔡卓明等四人為本校 蔡卓明等四人為本校96級學生，在王湧和、陳貞康兩位老師指導f 榮獲全阈第45屆科展數學科最 佳（鄉土）教材獎，本文即其研究成果。 壹、 研究動機 在高中數學第三冊中我們剛了解圓與球的性質，再加上國中常接觸到許多正多邊 形其內切圓及外接圓的問題。這令我們聯想到:是否所有多面體都有內切球與外接球？ 若有，它們間的關係又是什麼？恰巧，化學老師在課堂上提到了由六十個碳原子構成 的C-60模型，而我們發現，以數學的角度來看，C-60 ”是由數個正五邊形與正六邊形 所構成的立體圖形。在我們與數學老師討論後得知這種由十二個正五邊形與二十個正 六邊形所構成的立體圖形就是所謂的巴克球”，且從數學刊物上看到”巴克球為最接 近球體的多面體”。這引發了我們的興趣，因此我們決定就這方面的問題展開討論。 貳、 研究目的 一、 探討究竟能找出多少種類似”巴克球”這類由不同正多邊形所拼湊成的立體圖形。 二、 由平面延伸到立體，研究正多面體的邊長與其內切球、外接球半徑的關係。 三、 在正多面體的邊長與其內切球、外接球半徑的關係之討論中找出方法解決巴克 球的邊長與其內切球、外接球半徑的關係。 參、 研究器材 紙、筆、尺、計算機、圓規、模型、電腦。 肆、 研究問題 一、 由不同正多邊形所組成的多面體有哪些？ 二、 正多面體有哪些？ 三、 正多面體其內切球、外接球半徑與邊長關係？ 四、 巴克球與其餘截角多面體是否有內切球與外接球？若有，其內切球、外接球半徑 與邊長關係？ 五、 特化截角多面體其內切球、外接球半徑與邊長關係？ 伍、 研究過程 問題一、由不同正多邊形所組成的多面體有哪些? 兩種以上的正多邊形可拼成無限多種立體圖形，我們必須做一些限制來排除角 錐、角柱那些把底面換一換，側面做適當改變就可轉變成另一種型態的立體圖形；再 者，我們也限制對於每個頂點,其周圍正多邊形無論是邊數、個數、排法都是一樣的。 我們使用以下定理： 定理1.根據尤拉定理，設一多面體的邊數為E、頂點數為V、面數為F，則有F+V?E=2 定理2.若我們將共用一頂點的數個正多邊形攤平（即展開圖），則可得知共用一頂點的 正多邊形其內角和不得超過360° 定理3.由定理2：因為最小正多邊形為正三角形（任一內角為60° ）， ???n ? 60° 360°???心5，故一個頂點只能由三到五個正多邊形所共用 根據定理3，我們決定以共用一頂點的面數分三個情況討論： （-）由三個正多邊形共用一個頂點 設共用一個頂點的三個多邊形為正％直、?邊形 （以後皆定義q表止?邊形一內角），且3a}a2a3 根據定理夢，因為共用一頂 點的內角和必須小於360。，由於⑷+Q] +0] ax +勺+。3 360°,/.^） 120°，即山 可為3、4或5。在用三個多邊形構成一個頂點的狀況下，我們發現：（其理由見附錄一） 當山、山、巾其中一個為奇數邊時，另外兩個必相等。 所以山、血、山不可能出現兩個奇數的情況，而若三個都為奇數時三個必相等就 變成正多面體了。所以我們只需要考慮三個都為偶數或其中一個為奇數而另外兩個為 相等的偶數之情況即可。 當 ％ = 3 時??? a2 = a3 a q = 60° .?.a2 + tz2 4- a3 (360° 一 60°) 360° =a.=a3 150° = (180°-150°) -— n n2 12(且為偶數) 即(％如禺)可為(3,4,4), (3,6,6), (3,8,8), (3,10,10) 當 4=4 時???闵=90。若 n2 = 4 = a. (360° - 2 - 90°) = 180° n①可為大於5的任意正整數 即(q,隔,吗)可為(4,4,5?oo) 當玛=4 時 q=90。若 n2 = 6 = (360°-90°-120°) = 150° = ?可為 6,8,10 即(知如吗)可為(4,6,6), (4,6,8), (4,6,10) 當 4 = 5 時??? $ = 6 = 108° ??? 2a2a2 + a3 (360° -108°) 360° ng= a3 126°= (180°-126°) -— =/?2 7(且為偶數) ~? ai 即(知如角)可為(5,6,6) 結果有(3,4,4)、(3,6,6)、(3,8,8)、(3,10,10)、(4,4,5?無限大)、(4,6,6)、(4,6,8)、(4,6,10)、 。其中(3,4,4)、(4,4,5?無限大)為角柱體，故不在討論範圍內。 接下來就上面各值利用定理广來求頂點數、邊數及各種多邊形的面數。以 、(4,6,6)、(4,6,8)及(4,6,10)為例: (nbn2,n3) = (5,6,6