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极坐标？ 极坐标？知识点剖析 PAGE PAGE # / 10 1极坐标系 定义 在平面内取定点 0,叫做极点，引一条射线 0X叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向 (通常 以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系； ⑵点的极坐标 点M在极坐标平面内，|0M|= p,z M0X=，则点M的坐标为M(p,B ) ,p叫做点 M的极径，B叫 做点M的极角.当pV 0时，/ X0P=6，在0P的反向延长线上取一点 M使|0M|=| p |，点M就是坐 标为(p,0 )的点.由于(p,0 +2k n ) , (- p,0 +(2k+1) n )(k € Z)都表示同一点，因此在极坐标 平面上点与有序数对不是 对应的.但如果限定p 0, 0 0V 2 n或-nVBWn，则除极点外 就可以一一对应了； 对称点坐标 点M(p,B )关于极轴的对称点为 M; ( p, - 0 ), 点M(p,0 )关于极点的对称点为 M。(- p,0 ), 点M(p,0 )关于过极点与极轴垂直的直线 (极垂线)的对称点为M(- p, - 0 ); 极坐标内两点的距离公式 则￡网二即岛心?」财. 直角坐标与极坐标的互化 互化条件 原点与极点重合，极轴与 x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致. 互化公式 TOC \o 1-5 \h \z ( -円①或1 丫 #② I x 互化公式所得到的圆锥曲线的方程 例题 在极坐标系中，点(p, 0)与(-p,n - 0 )的位置是 [ ] 关于极轴所在直线对称； 关于极点对称； 关于直御诗3眾)对称； 重合. 分析 点(-Q，朮，)与点是同一个点，它与点关于 极轴所在肓线对称，答案选￡ TOC \o 1-5 \h \z 【例2】点A(4,卜 适合的极坐标是 , 适合此6 -2?^贰0的根坐标是 . 分祈当Q时，点盘￡导)的极坐标的式为］ 茹坨心) 4 2 _ f 2 kw乙 当k= T时，二牙冗-2化=-石忙，二嵐啲坐标为［4, - — T , _ 4 当p0时，点A的极坐标的一W式为-乞二他+ (2k + l)「ieZ, L 3 J 4 令-2疋C 了江* (2k + Ch - _2 4 5 *. 3 = — 7t - 3?r = -- ?r, _ ( 5 } 「.点直的坐标为-4, - -x ” L ? J 说明 一般地，为了求出点(p,0 )满足一定条件的极坐标，可先写出它的极坐标的一般形式，再 根据P和B的条件确定 k的值，从而得到所要求的坐标. 5 1 【例Q 已知点盘的极坐标-乳-t ,求它的直角坐标； j i 解’ .x - )COS^ - -COSjTT - -2 y - p sin 9 = _4 sin j x = 2 J5 二点也的直角坐标为(2 2近 【例4】 已知点B, C, D的直角坐标为(2 , -2) , (0,-15) , (-12 , 5)，求它的极坐标(p 0, 0 0 2 n ). 9 解= = 曾二#一1，且点隹于第 7需 四象限 4 r 7 1 点B的极坐标为2^2, \ 4 j 又= 0,尺0i p = 15 二点C的极坐标为(1工芸 对于DM2, 5）, p = 13, 且点位于第二象限，化■算 5 -arctan — 12 二点D的坐标为1攵 5) t - arctan 一 I. 12} 【例吕】极坐标方程D二岛+加殆表示的曲线是［ ］ 直线 圆 双曲线 抛物线 分析 将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状.因为给定的 Q不恒轻于零，可以用叩乘方程两边，得；=備+力遇乩由互化公 式彳辱亡4 y3 = y + 2Z 是以h，寸为圆心，￡为半径的圆. L 2丿 Z 【例;】二亠…H :.,: 什［ 解将/ 二凡x = p如狀入己知方程 A2 -P -p^osd = C 8Pp(p - 1 - cos6) = 0 ..p =。或Q ■ 1 cos fl * P - 0是极点，包含在°?1 +皿站中, ???极坐标方程是p =1+cos 0 （图形是心脏线）. 说明 通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状, 动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单. 但如曲线是由 乖制】极坐标方程厂士确定哪种鹹写出其直 角坐标系中的标推方程- 25 25 - 麒1 13-1.2co￡, 1 12 1 costf 1? 25 ep = 13 = y|l.表示椭圆 c Jj _ b e -— a a ba ep =— a -V 12 b3 b3 25 S! a 13 1嘯得咼?G b2 =25? 故椭圆标推方程为卷斗首= 解法2 由圆锥曲线的统一方程可知 fp(O) - a + c - 25 _ Ja - 13 = a