指数函数对数函数专题讲解(附练习题).doc

高中专题讲解 第 PAGE 4页 　共 NUMPAGES 7页　 指数函数、对数函数问题专题讲解 高考要求 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图像和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题 重难点归纳 (1)运用两种函数的图像和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟练掌握函数的图像和性质并能灵活应用 (2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 (3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力 典型题例示范讲解 例1已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点 (1)证明 点C、D和原点O在同一条直线上； (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标 命题意图 本题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力 知识依托 (1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标 错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题 技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标 (1)证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2, 由题意知 x11,x21,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2 因为A、B在过点O的直线上， 所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2), 由于log2x1==3log8x2, 所以OC的斜率 k1=, OD的斜率 k2=， 由此可知 k1=k2,即O、C、D在同一条直线上 (2)解 由BC平行于x轴知 log2x1=log8x2 即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1, 由于x11知log8x1≠0,∴x13=3x1 又x11,∴x1=,则点A的坐标为(，log8) 例2在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0a1)的图像上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形 (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式； (2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； (3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由 命题意图 本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力 知识依托 指数函数、对数函数及数列、最值等知识 错解分析 考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口 技巧与方法 本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题 解 (1)由题意知 an=n+,∴bn=2000() (2)∵函数y=2000()x(0a10)递减， ∴对每个自然数n,有bnbn+1bn+2 则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn, 即()2+()－10, 解得a－5(1+)或a5(－1) ∴5(－1)a10 (3)∵5(－1)a10,∴a=7 ∴bn=2000() 数列{bn}是一个递减的正数数列， 对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1 于是当bn≥1时，BnBn－1,当bn1时，Bn≤Bn－1, 因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+11, 由bn=2000()≥1得 n≤20 8 ∴n=20 例3设f(x)=log2,F(x)=+f(x) (1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明 对任意的自然数n(n≥3),都有 f－1(n); (3)若F(x)的反函数F－1(x),证明 方程F－1(x)=0有惟一解 解 (1)由0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)， 设－1＜x1＜x2＜1,则 F(x2)－F(x1)=()+() , ∵x2－x10,2－x10,2－x20,∴上式第2项中对数的真数大于1 因此F(x2)－F(x1)0,F(x2)F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数 (2)证明