高等数学MATLAB实验三 不定积分、定积分及其应用 实验指导书.docVIP

高等数学实验指导书 PAGE PAGE 20 实验三 不定积分、定积分及其应用 【实验类型】验证性 【实验学时】2学时 【实验目的】 1．掌握用MATLAB求函数不定积分、定积分的方法； 2．理解定积分的概念及几何意义； 3．掌握定积分的应用； 【实验内容】 1．熟悉利用MATLAB计算不定积分的命令、方法； 2．通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义； 【实验目的】 1．掌握利用MATLAB计算不定积分的命令、方法； 2．通过几何与数值相结合的方法演示定积分的概念和定积分的几何意义； 3．掌握利用MATLAB计算定积分、广义积分的命令、方法； 4．掌握利用MATLAB计算有关定积分应用的各种题型，包括平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长等； 【实验前的预备知识】 1．原函数与不定积分的概念； 2．不定积分的换元法和分部积分法； 3．定积分的概念； 4．微积分基本公式； 5．广义积分的敛散性及计算方法； 6．利用定积分计算平面图形的面积； 7．利用定积分计算旋转体的体积； 8．利用定积分计算平面曲线的弧长； 【实验方法或步骤】 一、实验使用的MATLAB函数 1．int( f(x) , x)； 求的不定积分； 2．int( f(x), x , a , b)；求在上的定积分； 3．int( f(x) , x , -inf, inf )；计算广义积分； 4．solve(eqn1,eqn2,...,eqnN,var1,var2,...,varN)；求解n元方程组； 二、实验指导 例1 计算不定积分。 输入命令： syms x; int(exp(x)*cos(2*x),x) 运行结果： ans = 1/5*exp(x)*cos(2*x)+2/5*exp(x)*sin(2*x) 例2 计算不定积分。 输入命令： syms x; int(1/(x^4*sqrt(1+x^2))) 运行结果： ans = -1/3/x^3*(1+x^2)^(1/2)+2/3/x*(1+x^2)^(1/2) 例3 以几何图形方式演示、理解定积分概念，并计算近似值。 先将区间任意分割成n份，为保证分割加细时，各小区间的长度趋于0，在取分点时，让相邻两分点的距离小于，分点取为（为随机数），在每一区间上任取一点（为随机数）作积分和进行计算，程序如下： function juxs(fname,a,b,n) % 定积分概念演示，随机分割、 随机取近似，并求近似值 xi(1)=a; xi(n+1)=b; for i=1:n-1 xi(i+1)=a+(i+rand(1))*(b-a)/n; end I=0; hold on; for i=1:length(xi)-1 sxi=xi(i)+rand(1)*(xi(i+1)-xi(i)); syi=feval(fname,sxi); I=I+syi*(xi(i+1)-xi(i)); xii=[xi(i) xi(i) xi(i+1) xi(i+1) xi(i)]; yii=[0 syi syi 0 0]; fill(xii,yii,c); end x=a:(b-a)/100:b; y=feval(fname,x); plot(x,y,r,markersize,20); hold off; fprintf(n=%6d, I=%12.5f\n,n,I); function y=fex(x) y=x.^2+1; 以积分为例，调用上述函数，观察如下： （1）几何上 图3.1 我们知道，当时，定积分的值表示由所围成的曲边梯形的面积，从图形3.1上可以看出，用小矩形面积和逼近曲边梯形面积的过程。 值得注意的是，虽然每次运行后的图形可能有所差异（相同的参数下），但总的趋势是，分点个数越多，小矩形的面积之和越逼近曲边梯形的面积，即积分和越逼近积分值。 （2） 数值上 当对区间逐步进行细分时，反复调用上述程序，可得一系列积分近似值（运行结果可能有差异），可以看到，随着区间数的增大，近似值越来越接近精确值（精确值为28/3）。 n= 20, I= 9.12818 n= 40, I= 9.38262 n= 160, I= 9.34459 n= 320, I= 9.33352 n= 640, I= 9.33158 n= 1280, I= 9.33324 n= 2480, I= 9.33364 例4 计算定积分。 输入命令： syms x; int(1/(5+3*sin(x)),x,0,2*pi) 运行结果： ans = 1/2*pi 例5