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求曲线轨迹方程的五种方法 一、 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系， 或者可以利用平面几何知 识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例 1 长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴、 y 轴上滑动， 求 AB 中点 P 的轨迹方程。 解：设点 P 的坐标为（ x，y ）， 则 A （2x，0），B （0，2y ），由|AB|=2a 得 2 2 (2x 0) (0 2 y) =2a 化简得 x2 2 +y =a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式 |AB|=2a，故可用直接法解之。 二、 定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可用曲线 定义写出方程，这种方法称为定义法。 例 2 动点 P 到直线 x+4=0 的距离减去它到 M （2 ，0 ）的距离之 差等于 2，则点 P 的轨迹是（ ） A 、 直线 B、椭圆 C、双曲线 D 、抛物线 解法一：由题意，动点 P 到点 M （2，0）的距离等于这点到直 线 x=-2 的距离，因此动点 P 的轨迹是抛物线，故选 D 。 解法二：设 P 点坐标为（ x ，y ），则 |x+4|- (x 2) 2 y 2 =2 当 x ≥-4 时，x+4- ( x 2) 2 y2 =2 化简得 1 / 4 当时， y2=8x 当 x ＜-4 时，-x-4- (x 2) 2 y 2 =2 无解 所以 P 点轨迹是抛物线 y2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程， 明显， 解法一优于后一种解法， 对于有些求轨迹方程的题目， 若能采用定义 法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、 代入法 如果轨迹点 P （x ，y ）依赖于另一动点 Q （a，b ），而 Q （a，b） 又在某已知曲线上，则可先列出关于 x 、y 、a、b 的方程组，利用 x 、 y 表示出 a、b，把 a、b 代入已知曲线方程便得动点 P 的轨迹方程， 此法称为代入法。 2 2 x y 例 3 P 在以 F 、F 为焦点的双曲线 1 上运动，则△ F F P 1 2 1 2 16 9 的重心 G 的轨迹方程是 。 解：设 P （x ，y ），G （x ，y ），则有 0 0 1 x (x 4 x ) 3 0 x0 3x