高等数学-无穷级数-函数展开成幂级数.pptVIP

* 第五节 函数展开成幂级数 第五节 函数展开成幂级数 前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过 来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示 一. 泰勒级数 其中f(x) 在 的某邻域内具有n+1阶导数. 余项 此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为 由此引入泰勒级数: 1. 定义 若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则 f(x)在 的泰勒级数 泰勒系数 麦克劳林级数 2. 泰勒定理: 若f(x) 在 的某邻域内具有各阶导数, (由泰勒公式很容易得出结论,证明略) 注: (1) 则f(x)在 的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x) 若f(x)在 的泰勒级数收敛于f(x),即 泰勒展开式 (2) 如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一. 则称 f(x)在 可以展开成泰勒级数 二. 函数展开成幂级数 主要研究函数如何展开成 x 的幂级数. 麦克劳林级数 1. 直接展开法 (1) 求出 如果某阶导数不存 在,说明不能展开 (2) 求出 (3) 求出收敛半径R (4) 在(-R,R)内,如果 则 f(x) 例 将函数展开成 x 的幂级数 收敛半径 有限 趋于零,因为 收敛 所以 (循环) 收敛半径 所以 0 牛顿二项式级数 注: α－1时,展式在 x =1成立; α0时,展式在 x = －1成立. 2.间接展开法 利用已知的基本展开式和幂级数的性质 (1).逐项积分,逐项求导法 (2)变量替换法 (3)四则运算法 例 将函数展开成 x 的幂级数 作变量替换 例 将 分别展开成 x 的及 x－1 的幂级数 ① ② 例 将 展开成 x－1的幂级数 三. 幂级数在近似计算中的应用 有了函数的幂级数展开式,就可以用它来进行近似计算，即在展开式成立的区间上， 可以按照精度要求，选取级数的前若干项的部分和，把函数值近似计算出来。 例： 求e的近似值 解 由 的展开式 取 有 根据不同的精度要求，取不同的n值 例 计算 ln2 近似值，要求误差不超过0.0001 解