高等数学复习-无穷级数.docVIP

PAGE PAGE 1 高等数学复习-无穷级数 收敛级数的基本性质？ 数乘性？ 加减不变性？ 加、删不变性？ 加括号不变性？ 一般项趋于0？ 二、判定正项级数的收敛性？ 1、利用部分和数列有极限（也可以是有界）判定。（基础） （1）直接利用式子求和 等比级数、等差级数和便于求和级数适用 可以裂项的级数适用 2、比较审敛法。 较为复杂的式子适用 （1）将式子适当放缩，而且放缩后的式子收敛性容易判断 3、比较审敛法的极限形式。（n趋于无穷大） 含有三角函数等函数的式子适用（特殊极限） （1）适当选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准（常用的 是等比级数和p级数） （2）原级数与放缩后的级数作商并取极限得L； （3）L再与0作比较。 4、比值审敛法。（n趋于无穷大） 后一项与前一项比值的极限容易求出的式子适用 后一项与前一项比值取极限得ρ； ρ与1作比较。 解出|x|的范围就是收敛半径 5、根值判别法 便于开n次根号的式子适用 开n次根号后取极限得ρ； Ρ与1作比较。 极限审敛法。（n趋于无穷大） n乘上式子（或式子的近似代替式子）后便于约去取极限得适用 Np乘上式子后便于约去取极限的适用 利用适用情况作积取极限的L L与0作比较 绝对收敛判定（定理） 正负波动的式子适用（交错（混乱交错）级数） （1）对式子取绝对值后与一个已知收敛性的式子作比较 三、求幂级数的收敛半径与收敛域？ 1、节点定理 2、类比较法 （1）后一项与前一项作商并取绝对值 （2）再取极限（n趋于无穷大）得ρ （3）根据ρ的值确定收敛半径R，得初步收敛域 （4）判断端点R，得最终收敛域。 四、求幂级数的和函数？ （1）后一项与前一项作商并取绝对值 （2）再取极限（n趋于无穷大）得ρ （3）根据ρ的值确定收敛半径R，得初步收敛域 （4）判断端点R，得最终收敛域。 （5）利用原式写出xs(x)，并对它求一阶导数（注意始终都要把范 围带上） （6）对一阶倒数积分解出xs(x) （7）得出s（x）,讨论s(0)，最终确定s（x） 五、函数展开为幂级数？ （1）求出函数的各阶导数，如果在x=0出的某阶倒数不存在则停止， 它就不能展开为x的幂级数 （2）求出函数及其各阶倒数再x=0处的值 （3）根据式子写出幂级数（泰勒级数） （4）求出收敛半径 六、函数展开为傅里叶级数？ 七、周期函数展开为傅里叶级数？ 八、函数展开为正弦级数和余弦级数？