高等数学MATLAB实验四 数据拟合问题 实验指导书.docVIP

高等数学实验指导书 PAGE PAGE 20 实验四 数据拟合问题 实验目的：1、加深对函数基本概念的理解； 2、掌握利用函数解决实际问题的方法； 3、掌握MATLAB软件中有关函数、绘图等命令 实验要求：掌握函数基本知识，熟悉MATLAB中绘图命令plot。 实验内容： 某研究所为了研究氮肥（N ）的施肥量与土豆产量的关系，做了十次实验，实验数据见表1-1，其中hm表示公顷，t表示吨，kg表示千克，试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系。 表1-1 氮肥施肥量与土豆产量关系的实验数据 施肥量 x(kg/hm) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 产量 y(t/hm) 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 实验方案 设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y与x之间应该有某种关系，假设y与x之间的关系为函数关系，则问题就转化为已知数据点，寻找函数，这就是数据拟合问题。 所谓数据拟合，就是从一组实验数据点出发，寻找函数的一个近似表达式（称为经验公式）。从几何上看，就是希望根据给定的这些数据点，求曲线的一条近似曲线。近似曲线不必过每一个数据点，但如果近似曲线的效果要好的话，那么数据点离近似曲线的距离应该尽量小，用偏差平方和函数 来刻画近似曲线的效果，偏差平方和函数越小则近似曲线的拟合效果越好，因此最好的近似曲线应该满足。 多项式函数由于性质良好，计算方便，常常用来进行数据拟合。可以考虑采用作为基函数来拟合这组数据（即用二次多项式函数作为经验公式），此时偏差平方和函数为 ， 其中为数据点的数目，要使偏差平方和函数最小，需要 （该方程组称为法方程组），将实验数据代入上式，解得 ， ， ， 即拟合函数为。 从图1可以看出拟合效果比较好，但是是否还可以更好呢？一般而言，拟合次数的提高可以使得拟合效果变好，但是并不是次数越高越好，现在提高拟合次数，将基函数由修改为（三次拟合），（四次拟合），得到拟合图2—图4。 从图形可以看出，拟合曲线的次数在二、三、四、五次拟合时效果都相差不大，但是高次拟合效果反而不理想，例如本例中的十次拟合，所以在本例使用二次拟合效果就比较好了，拟合函数为 。 实验过程： clear x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471]; y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75]; p=polyfit(x,y,2); %?polyfit(x,y,n ) ，用多项式求过已知点的表达式，其中x为源数据点对应的 横坐标，y为源数据点对应的 纵坐标，n为你要拟合的 阶数，一阶直线拟合，二阶抛物线拟合，并非阶次越高越好，看拟合情况 disp([num2str(p(1)),*x^2+,num2str(p(2)),*x+,num2str(p(3))]); % disp屏幕输出函数，num2str把数值转换成字符串， 转换后可以使用fprintf或disp函数进行输出； -0x^2+0.19715*x+14.7416 xx=linspace(0,471,100); %表示从0到471生成100个数 yy=polyval(p,xx); %返回多项式p在xx处的值 plot(x,y,r*,xx,yy) 图1 二次拟合效果图 图2 三次拟合效果图 图3 四次拟合效果图 图4 五次拟合效果图 图5 十次拟合效果图 附录： 三次拟合程序 clear x=[0,34,67,101,135,202,259,336,404,471]; y=[15.18,21.36,25.72,32.29,34.03,39.45,43.15,43.46,40.83,30.75]; p=polyfit(x,y,4); disp([num2str(p(1)),*x^4+,num2str(p(2)),*x^3+,num2str(p(3)),*x ^2+,num2str(p(4)),*x+,num2str(p(5))]); xx=linspace(0,471,100); yy=polyval(p,xx); plot(x,y,r*,xx,yy) 四次、五次、十次拟合跟上述程序类似。