数学归纳法及其应用论文.doc

数学归纳法及其应用 数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅 对我们中学数学的学习有着很大的帮助，而且在进一步学习及研究高等数学时, 也是一种非常重要的方法?数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之 处.对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键.耍 熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题 步骤，而在三个步骤中，运用归纳假设尤为关键，运用归纳假设推出结论最为重 要.数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题 和儿何问题等. 正整数是无穷的.一个与正整数N有关的命题，当比=1时表示一个命题， 当77=2时乂表示一个命题，如此等等，无穷无尽.因此，一个与正整数N有关 的命题本质上包含了无穷多个命题?假如我们对丁?这无穷多个命题，按部就班地 一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的. 在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物Z灵的人，发明了一种方法, 叫做“数学归纳法”.人们运用此法，只需寥寥儿步，像变戏法似的，便把无穷 多个命题一个不剩的全证完了⑴. 数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重耍的数学证明方法, 它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个 其他的形式在一个无穷序列是成立的?最简单和最常见的数学归纳法证明是证明 当斤属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是 递推的基础：证明当斤=1时表达式成立.第二步是递推的依据：证明如果当 n=k时成立，那么当n=k+\时同样成立.（递推的依据中的“如果”被定义为 归纳假设.不要把整个第二步称为归纳假设?）这个方法的原理在于第一步证 明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效 的.如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进 行的过程中. 1 数学归纳法的概述 1. 1 常用数学证明方法 数学是一门非常注重学习方法的学科，而数学的证明更是将这些方法体现的 淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类： 1. 1.1演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它乂称演绎法. 1. 1. 2归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳 推理,它乂称归纳法?根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部, 归纳法乂可分为不完全归纳法和完全归纳法. 不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方 法.不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论 证方法.但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重 要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些 特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不 完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要. 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论 的推理方法，乂叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是 可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法⑵. 数学归纳法的定义 数学归纳法概念：数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一?种 特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题. 数学归纳法的逻辑基础 意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G?Peano,1858-1932）,他总结了自然 数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称 Z为“皮亚诺公理”. 皮亚诺公理的内容如下： 任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做口然数.在这个集合中， 某些元素Z间存在着一种基本关系一一“随从”关系（或者叫做“直接后继”关 系）并且满足以下五条公理： I?M 2 （即“0是自然数）. 对于N的每一个元素°,在N中都有一个确定的随从q （我们用符号q 表示。的随从，以下类同）. 0不是N中任何一个元素的随从. 由a =b可以推出（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元 索的随从，或者根本不是随从）. 设M是口然数的集合，若它具有下列性质： （1） 自然数0属于M ； （2） 如果口然数。属TM ,那么它的随从a也属TM ； 则集合M包含一切自然数⑴. 自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素?关于自然数的所有性 质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于后继”的起 始元素，如果记0=1, 1=2, 2=3,…，兄=兄+ 1 ,…，则 N ={0,1,2,…，仏…} 皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原 理. 定理1 （最小数原理）自然数集N的任意非空子集A都有最小数. 证