数学解题中的分类讨论综述.doc

数学解题中的分类讨论综述 贵州都匀三中包汉忠 分类讨论是一种重要的数学思想方法，在近年来的高考试题中经常出现且常考不衰，但 由于分类讨论常常涉及到字母参数的不同取值，涉及到各种不同知识与解决问题的方法，这 就无形中增加了问题难度。因此，许多学生甚至部分老师都会“谈类色变”，有畏惧心理， 尤其是对于进入高中学习的学生，由于在初中对分类讨论的要求很低，而一进入高中就遇到 了很多关于集合、二次函数，解不等式的需要分类讨论的字母参数问题，对此他们感到非常 困难，如果教学中没有很好的对策来解决这个问题，将会使学生失去对学习数学的信心，甚 至放弃对数学的学习。 其实，要解决这个问题只需要解决其小两个关键问题：第一，是心理问题，要消除畏难 情绪，很多学生都是因为畏难而解决不了问题，甚至完全放弃这类问题；第二，是技术层面 问题，这是关键。在数学中既要让学生掌握分类讨论的思想方法，同时又要克服思维定势， 学会简化和避免分类讨论，优化解题过程，使学生树立辩证的解题观点，形成方法互补，使 分类讨论用得更为自然，更为合理。 本文结合例题教学，就引入分类讨论的原因和避免分类讨论的常用方法进行探讨，供大 家参考。 一、 消除畏难情绪 首先，要做好心理疏导，当学生初次遇到含有字母参数的分类讨论问题时，教师一定要 让学生逐渐明白，这类问题有一定难度。困难在于我们接触得较少，不太熟悉，掌握它需要 时间和过程。其次，教学上要循序渐进，在教学中所涉及到的分类讨论的例题，尤其是练习 题，一定要遵循循序渐进的原则，这是消除畏惧心理的最重要的教学策略，老师对这类问题 有高度的重视，备课时要仔细斟酌，合理选择，深入浅岀，各个击破，切实巩固学生学习数 学的积极性，进一步增强学生的学习信心。 二、 引入分类讨论的主要原因 1、由数学概念引起的分类讨论 在解决数学问题时，有些数学概念如绝对值、二次函数、对数、分段函数等，往往需要 进行分类讨论。 例1 (2009湖北)已知关于兀的函数f\x) - --F+bF+cr + bc,其导函数为/ (%), 令g(x) = |/(x)|,记函数gg在区间卜1,1］上的最大值为M o 4 ⑴如果函数/(兀)在兀=1处有极值-一，试确定b、c的值； 若\b\ 1,证明对任意的c,都有M 2； 若Mk对任意的b、c恒成立，试求R的最大值。 解：⑴略 (IT) g(x) = |/(x)| = |-(x-/?)2 +F+c 当|切1时，函数y = /(x)的对称轴x = b位于区间［-1,1］之外，得f\x)在［一1,1］上 的最值在两端点取得，故M是g(-l)和g(l)中较大的一个，有 2M g(—l) + g(l) = |—l + 2/? + c| + |—l — 2b + c|n|4b|4 ,即 M 2 (III) g(x) = = \-(x-h)2+h2+c ⑴当0|1时，由(II)可知M 2 x (2)当仏|51时，函数y = f\x)的对称轴x = b位于区间［一1,1］之内，此时 M = max{g(-l),g(l),g(Z?)},由/(1)-/(-1) = 4/?,有 /(/?)-/(±1) = (/7 + 1)20 若-ISO,则/(1)/(-1)/0),有g(-l)Smax{g(l),g@)}, = -0-l)2- 2 2 若0/1,则/(―l)W/(l)Wf(b),有 g(-l)max{g(-l),50)}, 1 。 1 =一(/? + 1). - 2 2 1 1 9 1 综上所述，对任意的/?、c都有M-f而当b = O、c = 一时，g(x) = -x2 + 一在 2 2 2 区间［-1,1］±的最大值M=-f故Mk对任意的b、c恒成立的R的最大值为丄。 2 2 2、由参数变化引起的分类讨论 含有参数的数学问题，由于参数的取值不同，会导致结果不同，或者对不同的参数值, 要运用不同的求解或证明方法。 例2 (2009重庆)设函数/(兀)=处？+加+ P仗0)在兀=0处取得极值，且曲线 y = /(x)在点(1,/(!))处的切线垂直于直线x+2y +1=0 ①求a,b的值； ②如g(x) =e ②如g(x) = ex ，讨论g(x)的单调性。 解：①略; 厂、、(、ex (x^ — 2x + k) t ②伯=一(尹苗’伙°) 令g(x)0,得无2_2兀+ ￡0,由于此不等式对应的方程有无实数根影响不等式解 集的形式，所以需要对判别式“△”进行讨论。 ⑴当△= 4一4￡0,即时，g(x) 0在/?上恒成立，故函数g(x)在/?上为增 函数； p 仏一［)2 (2)当/\ = 4一4￡ = 0,即 ￡ = 1 时，g(x)= —— 0,(兀 H1),故当 ￡ = 1 时，函 (X+幻? 数g(x)在R上为增函数; ⑶当△