数据结构的提炼与压缩论文.docx

数据结构的提炼与压缩 摘要 吋间复杂度和空间复杂度是衡量一个数据结构的重要指标，往往，简单存储 结构和小存储规模的数据结构会带来较低的吋空复杂度。因此 在程序设计屮就 需要仔细分析问题，化简存储结构，减少存储规模。 关键字 化简存储结构、减少存储规模、“提炼”、“压”、“缩”、DFS序、BFS序 引言 作为程序设计的一部分，数据结构在现在的信息学竞赛屮起着越来越大的作 用。一?方面，一个好的数据结构是高效实现算法的基础，例如当算法设计动态序 关系吋，通过平衡排序二叉树维护序关系就要比普通线性结构高效的多；另一方 而，的信息学竞赛屮已经涌现出一?大批“赤裸裸”的数据结构题，即题H所需要 的，就是设计一?个能维护特定数据关系，能高效完成特定操作的数据结构，例如 NOI2007 necklace CEOI2007 necklace 都是这样的问题。 衡量一个程序的优劣，有四个主要的参考度量：吋间复杂度，空间复杂度， 求解精确度，编程复杂度。时间复杂度衡量程序运行的时间，往往用一个相对输 入规模的阶表示，例如冒泡排序的时间复杂度是0(()；空间复杂度用来衡量程 序所需的除读入外的额外内存空间，往往也用一个和对输入规模的阶表示，例如 KMP算法的空间复杂度是O(n)；求解精确度衡量程序输岀解的质量，往往用与 最优解之间的相对或绝对误差来描述，现在的信息学竞赛屮大多数问题不允许有 误差，而另一些问题将求解精确度作为评分尺度之一；编程复杂度衡量正确编程 和程序调试的困难程度。 而作为对数据结构优劣的评判，(在编程复杂度不过分高的前提下)一个数 据结构的吋空复杂度就显得最为重要。木文将主要讨论的通过“化繁为简”的手 段优化数据结构的时空复杂度。 “化繁为简”作为一个可以广泛应用的方法，它能给程序设计带來以下两方 面的优势。 一方而，直观地看，在规模小、结构简单的数据丄进行操作，时空耗费比起 规模大、结构复杂的数据在操作规模上“天生”就有着无与伦比的优势。例如， 图结构的存储无论是采取邻接矩阵还是邻接表，空间都是0(m+n),只要不是稀 疏图，就会占用平方阶的空问，同时，所有基本操作的吋间复杂度也在平方阶之 ±;但对于树结构而言，常用的左儿子右兄弟表示法只需要O(n)的空间复杂度, 像遍历这样的基木操作，吋间复杂度也是0(n)。 另一方而，一个简单的数据结构可以有更多的处理手段，也适应于更多的算 法。例如，在图结构丄，一般只能进行连通性判断，流算法(事实上，流算法实 现小利用到了树结构)等；而在树结构上，就可以实施树型动态规划；更进一步, 对于线性结构而言，DP (Dynamic Programming,动态规划)的形式更加灵活， 而且还可以使用线段树，树状数组等工具；另外，如果线性结构辅助序关系，那 么各种平衡BST (Binary Search Tree,二叉有哪些信誉好的足球投注网站树)也能有用武之地。 本文将提出三种常见的化繁为简的手段 提炼：忽略无效信息，减少存储规模 (H) 压：调整存储方式，化简存储结构 (iii) 缩：合并重复信息，减少存储规模 1.二维结构的化简 二维结构主要分两种情况，其一：两维对称，即矩阵的情况；其二：两维不 对称，即一个线性表，它的每个元素都是一维结构，审数组是常见的情况。下而 我们分别就这两种情况举个例子。 问题一:ural 1568 Train car sorting 问题描述：对于一个序列仏｝,定义一种操作，将a变成b,使得：h｝ = aX｝, b2 = a 心…bs=抵，?+2 =ay2... bs+t = ay, □其中 s+t=n, x2 ... , y2 ... yt, ｛x,, x2 ...xs, y｝, y2... ｝=｛L 2, 3 …n｝。例如：1 2 345 可转化为1 3 5 24o给出「-个序列｛爲｝（满足｛爲｝是1到n的-个排列），求… 种方案，通过最少的操作次数是它变成升序序列。 这一题从题面看，操作的定义比较复杂，没有一个明显的切入点，很难设计 出一个能有效解决它的算法。其实只要找到题FI屮涉及的操作对应的不变量，问 题就能迎刃而解。 为算法刻画和证明的方便，引入以下定义： 称一个pxq的矩阵A为序列｛%｝的母矩阵，当且仅当，矩阵A中的所有非 零元素，自上到下自左到右逐列读出得到｛色｝,自左到右自下到上逐行读出得 到升序序列。 称序列｛?｝的所有母矩阵中，行数列数都最小的那个矩阵为序列｛%｝的最 简母矩阵。 ‘5 0、 例如：当n=5时，｛5, 3, 2, 4, 1｝的最简母矩阵为寸f H 1丿 本题的算法只需要完成以下步骤即可。 ⑴判断半前｛色｝是否是升序序列，若是则打印输出结束程序，若否转(ii) 计算｛。“｝的最简母矩阵A (设A是一个pxg的矩阵) 对｛%｝进行如下题意屮的操作