数学分析典型题.doc

6个等价定理 i°确界定理 2°单调有界定性 3°闭区间套定理 4°列紧性定理（Weierstrass聚点原理） 5°完备性定理（Cauchy收敛原理） 6°紧性定理（Borel有限覆盖定理） 在一般的教科书上论证它们的线路是：1° （作为公理及实 际上，它们是等价的，而且可从任何一个直接推出其它任何一个.这些训练对真正掌握分 析学方法以及进一步学习后续课程和考硏都是非常重要的.下面就作其中一些训练，其余 留给大家白己作. 1. 5°-6° 即用完备性直接证明紧性. 2. 6°-1° 即用紧性直接证明确界定理. 3. 6°-2° 即用紧性直接证明单调有界定理. 4. 6° 7° 即用紧性直接证明闭区间套定理. 5. 6°-4° 即用紧性直接证明列紧性. 6. 6°~5° 即用紧性直接证明完备性. 7. 3°-1° 即用闭区间套定理直接证明确界定理. 8. 3°-2° 即用闭区问套定理直接证明单调有界立理. 9. 3°~5。?即用闭区间套定理直接证明完备性. 1°-3°?即用确界定理直接证明闭区间套定理. 1°-4°?即用确界定理直接证明列紧性. 1°-5°?即用确界定理直接证明完备性. 1°-6°?即用确界定理直接证明紧性. 4。-I。.即用列紧性直接证明确界定理. 4°-2°.即用列紧性直接证明单调有界定理. 4°-3°.即用列紧性直接证明闭区间套定理. 17. 4°-*6° 即川列紧性直接证明紧性定理. 18. 5°-*1° 即川完备性直接证明确界定理. 19. 5°f2° 即川完备性直接证明单调有界定理. 20. 5°f3° 即川完备性直接证明闭区间套定理. 21. 5°-*4° 即川完备性直接证明列紧性定理. 22. 2°-*1° 即用单调有界定理直接证明确界定理. 23. 2°-*4° 即川单调有界定理直接证明列紧性定理. 24. 2°-*5° 即川单调有界定理直接证明完备性定理. 25. 2°-6°?即川单调有界定理直接证明紧性定理. 1） 数列极限存在、不存在的“ s-N ”定义. 2） 两边夹定理、单调有界性、Stolz定理等以及各种技巧. 3）函数极限的“ 8-6 ”定义、性质等. 用定义证明：若limx?存在，则lim — = limxZJ. 用定义证明：若儿一以 则lim山 X 二+ %几=亦. TOC \o 1-5 \h \z hr n （-i -i -i、j 设 limx”=a0,且 xn 0 （h I）,则lim 斗 十‘ +——十儿 =a . n 4.设 limx〃 = a 且 ￡ 0 (n 1),贝U lim …暫=ci ? x 5.若lim w+, nfs Y =a 且xn 0 (a? 1),则 = a . ns v 6.求 lim-^= QB Vn! 广 +2* +??? + // 及lim 以为自然数). 〃一8 Z? 7.证明：limsin?不存在（limcos/t不存在）? /1T8 T8 若｛兀｝满足I%] — ￡ HI兀，一和[I (厂为常数且0rl). 则 lim xn 存在，(若 I xn+i l k\xn \ (0 ^ 1),则 - 0 ). TOO 设 ax =0, = % + 3 2),求 liman. TOC \o 1-5 \h \z 4 ms 设 xQ=a 0, x｝=b 0, S?2),求 lim xn. y - “TOC HYPERLINK \h \z | 2 /7 设/(0) = 0,广(0)存在，令%,.=/(—) + /(—) + - + /(—)，求limx,.并求 n n n 八“ 1 2 n 下列极限:(1) lim[sin — + sin — + ??? + sin —1: “too n- rr rT 1 2 Kl (2) lim[l + —][1 + —+ —]. “T8 n~ n~ n~ 设/⑴在 上可微，且无公共零点,则集合{xe[0,l]l/(x) = 0}是 有限集. 设/(x)在(°,力)内可导，且广(x)单调，则广(x)wC(d,b). 设/⑴ 在(a,b)内可导，则 Vx0 e (a,/?), 3{x?} a (a.b),使limxn = xQ 且 \mfr(xn) = fXx0). 设/(x)在(a, +oo)内可导，且lim fr(x) = +oo ,则/⑴在(a,+a)内不一致 XT+8 连续. 设/⑴在(0,a]中连续，导数存在,且lim頁广(兀)存在，则/(x)在(0卫]中一 x-0+ 致连续. 设蚀在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且/(0) = 0, E为自然数,则北丘(0,1), 使 提示：令 f(x)=(x-i)7w. 设/⑴在上连续，厂⑴在(a,力)内存在，若/(6?) =