数学分析教学方案.doc

数学分析教学方案 (2005年5月初稿，2007年10月修改) 第一章实数集与函数 §1实数 教学忖的：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用. 教学内容：实数的基木性质和绝对值的不等式. 基木要求：实数的有序性，稠密性，阿基米徳性. 较高要求：实数的四则运算. 教学建议： (1)本节主要复习屮学的有关实数的知识. ⑵ 讲清用无限小数统一表示实数的意义以及引入不足近似值与过剩近似值的作用. §2数集.确界原理 (-)教学H的：掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念. 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理. 基木要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具 体集合，能指出其确界；能用一■种方式，证明集合A的上确界为2.即： Vx g A, x Z,且 Va 2,日兀° w A,心〉a ； 或 Vx e A, x 2,且 0, 3 x() g A, x0 A-e . 校高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性. 教学建议： 此节重点是确界概念和确界原理.不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明 具体集合的确界的习题. 此节难点亦是确界概念和确界原理.对较好学生可布置证明抽彖集合的确界的习题. §3函数概念 教学目的：掌握函数概念和不同的表示方法. 教学内容：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数. 基木要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义, 认识狄利克莱函数和黎曼函数. 校高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识. 教学建议： 通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象. §4具有某些特性的函数 (-)教学目的：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性. (二)教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数. (三)教学建议: ⑴ 木节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法. (2)木节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性?对较好学生可初步教会他们用分 析语言表述否命题的方法. 第二章数列极限 § 1数列极限概念 教学li的：掌握数列极限概念，学会证明数列极限的基木方法. 教学内容：数列极限. 基木要求：理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基木方法，懂得数列极限 的分析定义屮七与N的关系. 较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧. 教学建议： 木节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析屮的重要性.具体教学屮 先教会他们证明lim ^- = 0； lim an=0； ( I ? l 1),然后教会他们用这些无 TOO 兀 K T0C 穷小量来控制有关的变量(适当放大但仍小于这些无穷小量). 本节的难点仍是数列极限的分析定义?对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义 证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义. §2数列极限的性质 教学日的：掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限. 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法 则和数列的了列及有关子列的定理. 基木要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运 算法则，并会用其屮某些性质计算具体的数列的极限. 较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法. 教学建议： 木节的重点是数列极限的性质的证明与运用.可对多数学生重点讲解其中几个性质的 证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题. 木节的难点是数列极限性质的分析证明.对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证 明方法，并且会用这些性质计算校复杂的数列极限，例如：lim诉=1,等. §3数列极限存在的条件 教学目的：掌握单调有界定理，理解柯西收敛准则. 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则. 基木要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其 屮包括lim(l + -r存在的证明.理解柯两收敛准则的直观意义. TOO fl 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数 列(极限)的敛散性. 教学建议： 木节的重点是数列单调有界泄理.对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的 存在性. 本节的难点是柯西收敛准则.要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性. 第三章函数极限 §1函数极限概念 教学目的：掌握备种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限. 教学内容：各种函数极限的分析定义. 基木要求：掌握当 X — 00 ；兀 T+8; X - -0C : X —x(,) ； X — 时函数极限