数学建模思想及体系结构的探讨.doc

数学建模思想及体系结构探讨 一、 数学建模的概念 数学建模就是建立数学模型和使用数学模型的全过程。数学模型是通过对实际问题分 析，得到的一个抽彖、简化的数学结构，即是运用数学工具对实际问题的主要特征和内在联 系进行抽象概括而得到的一个模拟性数学结构，其屮数学结构是指由若干字母、数字以及含 有特定意义的数学符号建立起来的等式、不等式、序关系、逻辑关系、图表、图像或框图等。 因此，数学模型与实际问题（原型）之间存在因果关系,抽象地说模型是原型的函数。数学 模型建立厉，再用精确的或近似的数学方法对模型进行求解、分析，从而确定模型能否解决 实际问题。建立模型的关键和难点是将实际问题建立数学模型，使产生的模型能有效地用于 实际问题的求解。至于对模型的求解和结果的验证，可以通过计算机进行解决。 人学生数学建模竟赛最早是1985年在美国出现的，1989年我国人学生开始参加美国的 竞赛，经过两三年的参与，人家认为竞赛是推动数学建模教学在高校迅速发展的好形式，1992 年由中国工业与应用数学学会数学模型专业委员会组织举办了我国10城市的人学生数学模 型联赛。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部 高教司和屮国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竟赛，每年一次。十儿年来 这项竟赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展.（数学建模竟赛是国家教育部高教司和 屮国工业与应用数学学会共同主办，于1994年被教育部确定为四大比赛之一，）每年一次， -般在九月屮下旬进行，它的宗旨是培养大学生应用数学解决实际问题的意识和能力，该竟 赛日前已经成为全国规模最大的课外科技活动，竟赛以开放式进行，三名学生组成一个队， 在三天竟赛时间内完成赛题并形成论文，奖项设为国家级一等奖、二等奖，赛区一?等、二等、 三等奖（以省为单位）。 二、 数学建模思想 数学建模思想是针对工程技术、经济管理等方而的问题，应用数学方法分析问题，解决 问题，培养学生调查、写作、自学、实践、应用能力。 1、 发现问题?…观察，联系、思考、问题 2、 分析问题■一己知、求解、内在规律、变量关系、形、取舍 3、 解决问题■…用数学方法分析解决问题 三、 数学建模的工具一数学 1、 函数 2、 微分 3、 积分 4、 概率 四、 数学建模的方法 一般说來建立数学模型的方法大体上可分为两大类，—类建机理分析方法、一类是测试 分析方法,机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的 规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析将研究对彖视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统 的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型屮选 出一个与数据拟合最好的模型。这种方法称为系统辨识（System Identification）0将这两种 方法结合起来也是常用的建模方法，即川机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的 参数。 可以看出，用上面的哪一-类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目 的决定的。如果掌握了机理方方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义， 那么应该以机理分析方法为主。当然，若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其 他统计方法得到，如果对象的内部机理基本上不掌握，模型也不用于分析内部特性，譬如 仅用來作输出预报，则可以系统辨识方法为主,系统辨识是一门专门学科，需要?定的控制 理论和随机过程方面的知识。下面简述儿种基本的建模方法。比例关系2、函数关系3几 何模拟方法4、类比分析方法5、数据拟合的基本方法 最小二乘法7、计算机仿真 1、 比例关系 在建模过程屮常常要把-些语言的表达翻译成适当的数学形式。比如，-个变量与另 一变量有正比关系(有时记为y^x)，则数学表达式可为y二kx,其中k为比例常数。 如果对某个特定的x知道y的值的话，就可以定出k的值。 如果y既与xi成比例乂与x?成比例，则其数学表达式为y=kxi、x2,注意这个式子意 味着当xi或x?是原来的倍数星，y也是原来的倍数?而下而的形式y=kiXj+k2X2的含义是 当X］增加一个单位时，y增加k|个，当X2增加一个单位时，y增加k2个。 另外，“当x增加而y减少”能解释为线性关系y=yo-ax(a0)或反比关系y=k/x。要 确定哪一?种形式就需要更多的信息。 例如：在夏季商品交易会上，冰淇淋的销售量，而他认为该量与下列因系有关： a)与来参加交易会的人数n成正比；b)与超过15C的温度成正比，c)反比例于其价格。 试建立一个适当的模型。 解 设冰淇淋销售量为A,温度为T,并用p记价格。利用上述比例关系，可以得到 所求的模型为 A=kn(T— 15)/p 例如：冷却问题 将温度为T0