数学分析基本公式.doc

浅谈不定积分的计算 摘要：不定积分是数学分析中的一个十分重耍的内容。求不定积分没有固定方 法可循，只能因题而异。不定积分有较大的技巧性和灵活性，这篇论文中归纳总 结了计算不定积分的方法,包括直接按公式计算，添加项凑岀基本形式简化运算， 换元法和分部积分法，每种方法都是由易到难，由一般函数到复杂函数进行总结 的。 关键词：不定积分；换元积分;分部积分 中图分类号：0175、5 Calculation of indefinite integral Abstract: Indefinite integral is a very important issue in analytic mathematics. There is no fixed method to solve an indefinite integral. This paper summarized the method of calculating the indefinite integral, including direct formula-based, add an item pool out the basic form facilitating an arithmetic, division-for-element method and integral method. Every kind of method is to carry out a summaryJ s from the easier to the more advanced , and from general function to complicated function. Keyword: Indefinite integral, integration by substitution, integration by parts 一、引言 什么是微积分？它是一种数学思想，无限细分’就是微分，无限求和’ 就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想 看待问题。不定积分是数学分析中的一个十分重耍的内容，而学生在学习该内容 时往往感到十分困难，在解题过程中往往不知如何下手。这是因为不定积分定义 是非构造性的，它是求导的逆运算，因此求不定积分没有固定方法可求导的逆运 算，因此求不定积分没有固定方法可循，只能因题而异循，不定积分有较大的技 巧性和灵活性，用不同的方法解题，能开阔思路，提高解题技巧，积累解题经验, 探索解题规律，增长多向思维能力多向思维能力。下面我就给大家介绍儿点解题 方法。 在解题过程中我们一般会用到三种解不定积分的方法：直接积分法，换元积 分法，分部积分。 二、直接积分法 胃接积分法耍熟练掌握基本公式和性质。 (1) jOdx = c (2) jlf/x = p/% = x + c (3) ^xadx In I xl +c(0) In I xl +c (0) ^exdx = ex +c X\a X \axdx = 一— + c(0 v a 工 1)J Ina 1cos axdx = — sin ax + c(a H 0)a sin axdx =——cos ax + c(a H 0) a= tan x + c(10) fcschcZx =-cot兀 sin axdx =——cos ax + c(a H 0) a = tan x + c (10) fcschcZx =-cot兀+ c (11) jsec x tan xdx = sec x + c (12) Jcscxcot兀dx =-esc兀+ c (13) j 1 dx ./ o = arcsin x + c = - arccos 兀 + Ci \\-x2 (14) f—- = arctan x + c = -arccot x + zvJl + x2 C, 三、换元积分法 （一）第一换元法（凑积分）1.凑出基本方程的形式 斗尸沁）]+用T如下的积分：Jf [?（兀）b （兀加，作法如下: 斗尸沁）]+ ^\\(p{x^p\x)dx—3—》—L- ― F(w) + c 常用的凑微分形式 (1) Jf(ax + b)〃兀=—^f\cix + b)d{ax + b) (uh 1, a^O)-]7( (uh 1, a^O) ⑷八丄心-川屮J \xJx~ ⑷八丄心-川屮J \xJx~ J \xJ \x ——dx = ⑸ ^f(\nx)—dx = J/(lnA*)rflnx (6) j/(arctan x) dx = j/(ln%)f/lnx 1 I X ⑺ jf(arcsinx) yll-x2 dx = j/(arcsin x)d arcsin 兀 (8) J/(cosjc)sin 兀cZx = - j/